浙江省诸暨市牌头中学全国高中数学联赛模拟试题（一）新人教A版

该题目是浙江省诸暨市牌头中学的一份全国高中数学联赛模拟试题，主要涉及的知识点包括： 1. **不等式与方程的求解**： - 方程`6×(5a2＋b2)＝5c2`中求正整数解 `(a, b, c)` 的个数，这涉及到数论中的整数解问题，需要通过分解因数、分析整数的性质来解决。 - 方程 `cos2x＋3 sin2x＝a＋1` 在 `0 ≤ x < 2π` 上有两个不同的实数解，这需要利用三角恒等变换，将方程转换为关于 `x` 的二次方程，然后讨论根的分布。 2. **函数单调性**： - 函数 `12−=xyx` (x ≠ 1) 的递增区间，需要通过对函数求导并判断导数的符号来确定函数的增减性。 3. **几何问题**： - 过定点 `P(2,1)` 作直线 `l` 交坐标轴，要求使三角形 `AOB` 面积最小，这需要利用几何知识找到直线斜率，结合点斜式写出直线方程，同时利用面积公式进行优化。 4. **数列问题**： - 找出数列 `1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, ...` 的第 1000 项，这需要分析数列的规律，发现每个数出现的次数是它自身减一的阶乘，从而计算出第 1000 项。 5. **排列组合**： - 排列问题 `a1<a2>a3<a4>a5` 其中 `a1=1`，`a2=2`，`a3=3`，`a4=4`，`a5=5` 的排列个数，这是基础排列问题，直接计算即可。 6. **填空题**： - 填空题涉及实数解的求解、数列通项公式的推导、除法的余数计算、三角函数的值域求解、复数性质的证明以及数列末尾数字的规律探究等，这些都是高中数学的常见考点。 7. **解答题**： - 解答题部分包含了不等式证明、整数解的确定、二次方程根的性质、几何图形性质的探讨、数列通项的推导等，这些都是对学生的综合能力的考察。 这份模拟试题全面覆盖了高中数学的多个核心领域，包括代数、几何、数列、不等式、函数等，旨在检验学生的数学思维、计算能力和应用技巧。学生在解答时需要具备扎实的基础知识，灵活运用数学方法，以及良好的问题解决能力。