高中数学中的圆锥曲线是重要的知识点之一，特别是抛物线的几何性质是高考常考内容。本课时作业主要围绕抛物线的简单几何性质展开，涵盖了直线与抛物线的交点个数、抛物线的焦半径公式、点到抛物线准线的距离以及抛物线的标准方程应用等多个方面。
题目讨论了过点(2,4)作直线与抛物线 $y^2=8x$ 的交点情况。由描述知点(2,4)在抛物线上，这意味着过这个点的直线与抛物线的交点可以是切线（唯一交点）或者与对称轴平行的直线（也只有一个交点）。因此，存在两种情况使得直线与抛物线只有一个公共点，答案是B。
接着，第二题涉及到了抛物线焦半径公式。题目给出了抛物线 $x^2=4y$，其焦点在原点上方，通过焦点的直线交抛物线于两点P1和P2。由焦半径公式知，抛物线上点到焦点的距离等于其到准线$y=-1$的距离，因此，$|P1P2|$等于P1和P2到准线的距离之和。已知$y1+y2=6$，而准线距离等于$y$值加1，所以$|P1P2|=y1+y2+2=8$，答案是C。
第三题考察的是向量与抛物线性质的结合。设O为原点，F为抛物线 $y^2=4x$ 的焦点，A为抛物线上一点，通过点积公式计算得到OA·AF的值，从而求出点A的坐标。解题过程中利用点A在抛物线上，点A的坐标满足抛物线方程，结合向量的数量积运算，最终得出点A的坐标为(1,±2)，答案是B。
第四题则引入了直线与抛物线的垂直关系。直线$y=x+b$与抛物线$y=x^2$相交于A、B两点，若OA垂直于OB，根据点的坐标和向量垂直的条件，可以列出关于b的方程，解出b的值。这里通过韦达定理和点积为零的条件，得到$b=2$，答案是D。
第五题考察了倾斜角和焦半径的应用。在抛物线$y^2=3x$中，过焦点的倾斜角为30度的直线与抛物线交于A、B两点，计算三角形OAB的面积。通过直线的斜率求出直线方程，联立方程求交点坐标，再利用焦半径公式求出弦长AB，最后根据点到直线距离公式求出原点O到直线的距离，进而计算面积，答案是D。
填空题部分，第六题利用焦半径公式求解中点M到准线的距离，第七题通过比例关系推导出抛物线方程，第八题则是求解弦长比，这些都涉及到抛物线的基本性质和几何意义。
解答题部分，第九题通过等腰直角三角形构建，利用三角形的性质和抛物线方程求解。在这种情况下，三角形的斜边即为抛物线的通径，根据通径的长度求解出p，进而得到抛物线方程。
通过以上分析，我们可以看出，这份作业主要考察了学生对抛物线的几何性质，包括焦点、准线、焦半径公式、点到准线的距离、直线与抛物线的交点个数等的理解和运用。这些知识在解决实际问题时非常重要，也是高中数学学习中的核心内容。
