数学归纳法是数学证明中的一种重要方法,尤其在处理与自然数序列相关的性质时非常有用。这种方法基于两个步骤:基础步骤(base case)和归纳步骤(inductive step)。在使用数学归纳法证明一个关于所有自然数n的命题时,首先需要验证基础步骤,即命题对于最小的自然数(通常是1或2)是否成立。然后,在归纳步骤中,假设命题对于某个数k(k大于基础步骤中的数)成立,以此来证明命题对于k+1也成立。
在题目中给出的例题1中,要证明1+ +...+ <n (n∈N*, n>1),基础步骤是验证n=2时不等式成立,即1+ <2,这对应选项B。题目2展示了归纳法的逆否命题应用,如果n=5时不等式不成立,那么n=4时也不成立,因为如果n=4成立,根据归纳法原理,n=5也应该成立。
例题3展示了在数学归纳法证明序列求和公式时,从n=k到n=k+1的过程,需要加上新项(k+1)^2和k^2,所以选择D。例题4通过计算Sk的表达式,展示了如何从Sk转换到Sk+1,需要用到新项和旧项的调整。例题5通过计算数列{an}的前几项,可以猜想出an=n^2。
例题16中,f(n)的项数是从n到n^2的自然数之和,因此项数是n^2-n+1,对应选项D。例题7通过尝试不同的n值,找出了使不等式2^n>n^2+1成立的最小n值,即n0=5。例题8展示了在数学归纳法证明等式时,当n=k+1时,等式左侧与n=k时的差值,计算结果为3k+2。
例题9和10涉及到图形的扩展和数列的递推关系。例题9通过观察图形的顶点数归纳出第n-2个图形的顶点数为n(n+1)。例题10中,利用函数f(x)=x^3-x的导数和递推关系,通过数学归纳法猜想an≥2^(n-1),并进行证明。
总结来说,数学归纳法是一种强大的证明工具,它要求首先验证一个命题对于初始值(基础步骤)成立,然后假设命题对于某个值k成立(归纳假设),最后证明在这个假设下命题对于k+1也成立。这样,根据归纳原理,命题对所有大于或等于初始值的自然数都成立。在实际应用中,数学归纳法常用于证明数列性质、求和公式以及解决与自然数序列相关的问题。