【函数与导数基础知识点】
函数与导数是高中数学中的核心内容,主要涉及函数的性质、导数的计算和应用。在这个二轮复习中,我们需要深入理解和掌握以下几个关键知识点:
1. **切线与导数的关系**:题目中提到了曲线在某点的切线,切线的斜率就是该点处函数的导数值。例如,问题1中提到的曲线`y=ax^2`在点`(1,a)`的切线与直线`2x-y-6=0`平行,通过导数的几何意义,我们知道切线斜率为`2a`,根据平行线的斜率相等,可以求得`a=1`。
2. **函数定义域的确定**:函数的定义域是使函数有意义的自变量的集合。例如,问题2中的函数`f(x)=1/x`,其定义域为所有非零实数,即`(负无穷, 0)`和`(0, 正无穷)`。问题2的答案是`(0, +∞)`,因为分母不能为零,所以排除了`x=0`。
3. **对数函数和幂函数的性质比较**:问题3中涉及到对数函数和幂函数的大小比较。对数函数`log_b x`的单调性取决于底数`b`,当`b>1`时是增函数,`0<b<1`时是减函数。幂函数`x^n`的单调性取决于指数`n`,正指数时随着`x`增大而增大,负指数时随着`x`增大而减小。通过这些性质可以判断选项的正确性。
4. **零点的存在性**:问题4考查了函数零点的判断,即找到使函数值为零的`x`值。例如,函数`f(x) = -x^2 + log_2 x`的一个零点位于区间`(1, 2)`,这是通过连续性和介值定理来判断的。
5. **奇函数的性质**:问题5中提到的函数`f(x) = lg(x/(1+x))`是奇函数,奇函数满足`f(-x) = -f(x)`。由于在`x=0`处有意义,我们可以推断函数在`(-1, 1)`区间上的性质,从而确定其单调性。
6. **函数图象的识别**:问题6要求选择符合特定性质的函数图象。这需要我们熟悉常见函数(如三角函数、指数函数、对数函数)的图象特征及其变化规律。
7. **函数值的计算**:问题7中的函数`f(x) = 1/x^2`,对于任意正整数`n`,都有`f(n) = 1/n^2`,所以`f(2012) = 1/2012^2`。
8. **导数与函数性质的关系**:问题8中提到,当`x∈(-∞,1)`时,`(x-1)·f'(x)<0`,这意味着`f(x)`在`(-∞,1)`上是减函数。根据函数的对称性,`f(x) = f(2-x)`,我们可以推断函数在`(1, +∞)`上的单调性,进而比较`a`、`b`、`c`的大小。
9. **函数零点的判定**:问题9考查了函数零点的存在性,如`f(x) = ex - x - 1`,可以使用二分法或者观察法来判断其在`(0, 1)`上是否有零点。
10. **整点函数的定义**:问题10介绍了整点函数的概念,即函数图像通过的点的横纵坐标都是整数。根据这个定义,我们可以分析给出的函数,找出哪些是一阶整点函数。
11. **复合函数的求值**:问题11中,已知`f(x) = 1/(1+e^x)`,求`f(1)`。这里需要用到指数函数的性质和分式运算。
12. **奇函数的性质应用**:问题12中,奇函数`f(x) = ax + (1/a)x`,根据`f(-x) = -f(x)`,可以解出`a`的值。
13. **函数单调区间的求解**:问题13中的函数`f(x) = (x^2 + x + 1)e^x`,要求其单调减区间。这需要求导并解不等式`f'(x) < 0`来确定。
14. **曲线的切线与极值**:问题14中,曲线`y = x^n + 1`在点`(1, 1)`处的切线与`x`轴的交点`x_n`,通过切线的斜率和点斜式方程,可以找到`x_n`,进而求得`an = lg xn`的和。
15. **函数极值与最值的计算**:问题15涉及函数的极值和最值问题,需要先求导确定极值点,然后分析这些点是否是局部极大值或极小值,最后结合端点值来确定函数在区间上的最值。
在复习过程中,特别需要注意以下常见误区:
- 忽视函数的定义域,尤其是在涉及对数函数和分式函数时。
- 错误理解函数的奇偶性,忘记奇偶函数定义域的对称性要求。
- 求单调区间时忽略函数定义域的限制。
- 不熟悉基本初等函数的图象及其变换。
- 函数建模时忽视实际应用中的定义域和限制条件。
- 不清楚导数的几何意义,可能导致求导问题的解答错误。
- 导数的计算错误,包括基本初等函数的导数和导数法则的应用。
- 混淆函数的极值与最值,以及导函数为0的点与极值点的区别。
- 忽视函数和导函数定义域的不同,错误地将导函数的定义域应用于原函数。
- 求单调区间时直接解不等式,而不是考虑导数的符号变化。
通过以上知识点的复习和习题训练,学生应能深入理解函数与导数的基本概念,提高解题能力,为高考做好充分准备。