【导数在研究函数中的应用】是高等数学中极为重要的概念，它在解决函数性质、求最值、分析函数图像等方面发挥着核心作用。在2016年高考数学的大一轮复习中，这一知识点被列为重点，特别是对于理科学生而言。导数可以看作是函数在某一点的瞬时变化率，它的正负和大小揭示了函数的增减性。例如，导数为正意味着函数在该点附近是增函数，导数为负则表示函数减小。
在选择题1中，通过导数的图像可以判断函数的单调性。题目显示函数f(x)在整个实数域上是单调递减的，且递减速度逐渐变慢。这说明f'(x)的值始终小于零，因此选项③和⑤正确，即对于任意不同的x1和x2，(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0，且f(x)恒小于零。排除其他选项后，答案为D。
选择题2考察了导数与函数单调性的关系，要求找出使函数y=a(x^3-x)在区间上递减的a的取值范围。通过对导数y'=a(3x^2-1)的分析，我们知道当3x^2-1小于零时函数递减，解得x在(-1/根号3,1/根号3)内。题目要求整个区间为递减，因此a必须为正，使得导数的符号始终为负。答案是A，即a大于零。
选择题3涉及导数与切线的关系。若直线x+y+m=0不是函数f(x)=x^3-3ax的切线，意味着f'(x)的值不等于-1。计算f'(x)得3x^2-3a，要使f'(x)≠-1，a不能等于x^2+1的最小值，即a不能小于或等于0。答案是B，a小于1。
选择题4和5进一步探讨了极值点、切线以及导数与函数极值之间的关系。在F(x)=f(x)-g(x)中，F'(x0)=0表明x0是可能的极值点，但极值的性质还需通过导数的符号来确定。选项B正确，因为x0处的导数为零，且在x0两侧导数符号相反，说明x0是极小值点。选择题5通过构造函数，证明了在(0,1)区间内，e^x的增长速度快于ln x，即x2e^x1>x1e^x2。
选择题6与函数的三边长度问题有关，要求m的取值范围使得f(x)在[0,2]上形成的三角形是存在的。通过分析函数的单调性和极值，可以得出m的最小值必须大于f(x)在[0,2]区间的最大值和最小值之和的一半，即m>6。
填空题7考察了函数单调递减区间的求解，通过解不等式f'(x)<0得到单调递减区间为(0,1)和(1，e)。填空题8利用极值点条件和极值的值求出m和n的值，得出m+n=11。填空题9涉及到存在性问题，要求存在x1和x2使得f(x2)≤g(x1)，通过分析两个函数的性质确定a的取值范围。
导数在研究函数中的应用不仅涉及函数的单调性、极值点，还包括函数图像的分析和构建，以及存在性问题的解决。在实际问题中，理解和掌握这些知识对于解决复杂的数学问题至关重要。
