【正余弦函数的性质】
本课程主要探讨的是高中数学中的正余弦函数的基本性质，这是新人教A版必修4中的重要内容。正余弦函数是周期性函数，广泛应用于物理、工程等领域，掌握其性质对于理解和应用这些函数至关重要。
1. **值域**：在选择题1中，讨论了函数`y=2sinx^2`的值域。由于`x^2`总是非负的，即`x^2 >= 0`，因此`sinx^2`的取值范围在`[-1, 1]`之间，乘以2后，`y`的值域就是`[-2, 2]`。
2. **奇偶性**：选择题2和解答题9考察了函数的奇偶性。函数`y=1/(cosx)`是奇函数，因为`f(-x) = 1/(cos(-x)) = 1/cosx = -f(x)`。同样，函数`f(x) = cos(2π-x) - x^3*sinx`是偶函数，因为`f(-x) = cos(2π+x) - (-x)^3*sin(-x) = cosx + x^3*sinx = f(x)`。
3. **周期性**：选择题4中，我们寻找周期为π且在`[π/2, π]`上单调递减的函数。通过分析，发现`y=sin(2x+π/2)`即`y=cos2x`满足条件，因为它的周期是π，并在该区间上递减。
4. **绝对值与奇偶性**：解答题3中，因为函数`f(x)=sinx - |a|`是奇函数，根据奇函数的性质`f(-x)=-f(x)`，可以得出`a=0`。
5. **三角函数比较**：选择题5中，通过比较`sin11°`, `cos10°`, `sin168°`的大小，得出`cos10° > sin168° > sin11°`，这是因为`cos10°`等价于`sin80°`，而`sin168°`等价于`sin12°`，显然`sin80°`大于`sin12°`，而`sin12°`大于`sin11°`。
6. **对数函数与三角函数的结合**：填空题7和8考察了复合函数的性质，特别是对数函数`ln(cosx)`和余弦函数`cos(2x-π/2)`的单调性。`ln(cosx)`的定义域要求`cosx > 0`，单调递增区间为`[2kπ, π+2kπ]`，而`cos(2x-π/2)`的单调增区间为`[kπ+π, kπ+3π/2]`。
7. **封闭图形的面积**：解答题10中，求解函数`y=2cosx`（`0≤x≤2π`）与直线`y=2`围成的封闭图形的面积。由于`cosx`在`0`到`π`区间内递减，从`π`到`2π`递增，封闭图形面积等于`ABDE`矩形面积的一半，即`4π`。
8. **函数性质的应用**：能力提升部分的题目进一步检验了学生对正余弦函数性质的理解，如周期性、奇偶性和单调性，并强调了这些性质在实际问题中的应用。
总结起来，本课内容涉及到正余弦函数的值域、奇偶性、周期性、单调性、绝对值与奇偶性的关系以及函数图像的性质。这些都是学习三角函数的基础，对于理解和解决涉及周期性变化的问题至关重要。
