等差数列是高中数学中的一个基础概念，它在日常生活和科学研究中有着广泛的应用。等差数列的特点是，从第二项开始，每一项与前一项的差是恒定的，这个恒定的差被称为公差。在河北省张家口市第一中学2014_2015学年的高一数学课程中，对等差数列的讲解重点放在了理解和应用上。
等差数列的定义是这样的：如果一个数列从第二项开始，每一项与前一项的差等于一个固定的常数，那么这个数列就被称为等差数列，这个常数就是等差数列的公差，通常用字母d表示。例如，数列48, 53, 58, 63中的公差d为5，因为每次增加5。同样，数列0, 5, 10, 15, 20中的公差也是5，而数列9.8, 19.6, 29.4, 39.2...中的公差是9.8。
常数列，即每一项都相等的数列，显然是等差数列，其公差为0。等差中项是指在等差数列中，如果存在三项a, b, c，满足b-a=c-b，那么b就是a和c的等差中项。在这个关系中，公差d可以表示为b-a或者c-b。
常见的等差数列包括全体自然数1, 2, 3, ..., 公差为1；全体正奇数1, 3, 5, ..., 公差为2；全体正偶数2, 4, 6, ..., 公差为2。而数列0, -2, -4, -6,...的公差为-2。
在求等差数列的通项公式时，我们可以根据首项a1和公差d推导出通项an = a1 + (n-1)d。这个公式表明，知道数列的任意两项，就可以求出其他项。同时，通项公式中的n是项数，必须保持一致。例如，在给定的数列8, 5, 2,...中，首项a1为8，公差d为-3，所以通项公式为an = 8 - 3(n-1)，第20项可以通过将n替换为20来计算。
等差数列的证明主要涉及判断一个数列是否满足等差条件，即检查连续两项之间的差是否恒定。例如，对于数列an = 2n和bn = 3n+1，我们需要计算an+1 - an和bn+1 - bn，看它们是否为常数。
在实际应用中，等差数列可以帮助解决各种问题，比如在出租车计费问题中，超出起步价部分的费用构成了一个等差数列，每公里的费用是公差，初始费用是首项，通过累计这些等差数列的项，可以计算出总费用。
总结来说，等差数列是数学中的基础概念，它涉及等差中项、通项公式、等差数列的证明以及实际应用等多个方面。理解和熟练运用等差数列，对于解决日常生活中的实际问题和进一步学习高级数学知识具有重要意义。
