高中数学第三章数系的扩充与复数的引入
本节课我们将学习数系的扩充和复数的概念,了解复数的起源和发展过程。我们将探索希腊数学家海伦、卡当、笛卡尔、莱布尼茨、达朗贝尔、棣莫弗、欧拉等数学家的贡献,并了解虚数的定义和性质。
一、数系的扩充
数系的扩充是指从自然数到整数、有理数、实数的扩展过程。这一过程中,我们引入了负数、分数和无理数等概念,扩展了我们对数的理解和运算能力。
二、复数的起源
复数的起源可以追溯到公元 1 世纪希腊数学家海伦,他考虑的是平顶金字塔不可能问题。16 世纪意大利米兰学者卡当在 1545 年发表的《重要的艺术》一书中,公布了三次方程的一般解法,被后人称之为“卡当公式”。他是第一个把负数的平方根写到公式中的数学家。
三、虚数的概念
虚数是指无法在实数轴上表示的数,它可以用符号 i 来表示,其中 i 是-1 的平方根。法国数学家笛卡尔是第一个使用“虚数”这一名称的人,他在《几何学》(1637 年发表)中使“虚的数”与“实的数”相对应。
四、虚数的发展
虚数的发展经历了许多数学家的贡献。德国数学家莱布尼茨认为虚数是神灵遁迹的精微而奇异的隐避所。法国数学家达朗贝尔在 1747 年指出,如果按照多项式的四则运算规则对虚数进行运算,那么它的结果总是 a+bi 的形式(a、b 都是实数)。法国数学家棣莫弗在 1730 年发现了著名的棣莫佛定理。欧拉在 1748 年发现了有名的关系式,并且是他在《微分公式》(1777年)一文中第一次用 i 来表示-1 的平方根,首创了用符号 i 作为虚数的单位。
五、虚数的应用
虚数广泛应用于数学、物理、工程等领域。它可以用于表示旋转、振动、电路分析等问题。挪威的测量学家成塞尔在 1779年试图给于这种虚数以直观的几何解释,并首先发表其作法,然而没有得到学术界的重视。
数系的扩充和复数的引入标志着数学领域的一大突破,它扩展了我们的数的理解和运算能力,并为后续的数学发展奠定了基础。