2018版高考数学考点04分段函数试题解读与变式

【分段函数详解】 分段函数是高中数学中的一个重要知识点，它是指在定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的数学表达式来表示的函数。这种函数的特点在于，虽然由多个部分组成，但整体上看，它仍然是一个单一的函数。 **分段函数的基本要素：** 1. **概念**：如果一个函数在不同的定义区间有不同的对应法则，那么这个函数就被称为分段函数。例如，函数可能在x<0时用一个表达式，在0≤x<1时用另一个表达式，而在x≥1时用第三个表达式。 2. **定义域与值域**：分段函数的定义域是所有段定义域的并集，值域则是各段函数值域的并集。这意味着分段函数的所有可能输入值和输出值都包括在这两个集合中。 3. **图像绘制**：分段函数的图像通常由几条连续的曲线组成，每段曲线对应函数的一个区间。在画图时，要注意曲线在各段间的连接，避免在相同的x值上有多个点。 4. **求值方法**：求分段函数的值时，首先确定自变量所在的区间，然后根据该区间对应的函数表达式进行计算。 5. **奇偶性与单调性**：判断分段函数的奇偶性，需确保定义域关于原点对称，并分别在x>0和x<0时比较函数值。分段函数的单调性则需要分析每段函数在各自定义区间内的增减性，并结合图形理解。 6. **周期性**：对于周期性的讨论，需依据周期函数的定义，通过比较相邻段的函数关系来判断。 7. **最值与值域**：找到每段函数的最大值和最小值，然后找出这些最值中的最大值和最小值，这可能是函数的全局最值。同时，可以借助图像来寻找函数的值域。 8. **解题策略**：处理分段函数的题目时，常常需要用到分类讨论、转化思想，将复杂问题简化为多个简单的不等式或方程组。 **高考考点与题型分析：** 在高考中，分段函数是一个常考的热点，涉及到的题型包括函数的求值、值域与最值的求解、函数图像的描绘、方程的求解、不等式的解集等。这类问题通常以选择题或填空题的形式出现，难度层次多样，从基础到中等都有涉及。 **典型题型解析：** 1. 求分段函数的值：例如2017年山东高考题，需要根据给定的函数表达式和条件确定自变量的范围，然后代入相应的函数式求解。 2. 最值与值域问题：如2016年北京理科高考题，要求找到函数的最大值或最小值，需要对每段函数进行分析，再综合得出整体的最值。 在解答这类问题时，考生需要具备清晰的分析问题能力和良好的分类整合思维，同时，熟练运用数形结合的方法，结合函数的性质，如奇偶性、单调性等，以有效地解决问题。 理解和掌握分段函数的概念、性质及其应用是高中数学学习中的重要环节，对于解决实际问题和应对高考都有着至关重要的作用。考生应当通过大量练习和深入理解来提升在这方面的技能。