高中数学中的导数是微积分学的基础概念，用于描述函数在某一点的瞬时变化率。在第一章“导数及其应用”中，1.2节主要讲解了如何计算导数，特别是针对复合函数的求导法则。复合函数是由两个或多个函数通过内部变量连接起来形成的函数，比如 \( y = f(g(x)) \)。了解如何对这类函数求导对于解决复杂的数学问题至关重要。
导数的计算涉及到一系列的基本初等函数的导数公式，例如 \( (x^n)' = nx^{n-1} \)，\( (\sin x)' = \cos x \)，\( (\cos x)' = -\sin x \)，\( (\ln x)' = \frac{1}{x} \)，以及 \( (e^x)' = e^x \)。这些基本导数公式是计算其他复杂函数导数的基础。
导数的运算法则包括加法法则、减法法则和乘法法则。加法法则规定，两个函数的和或差的导数等于这两个函数导数的和或差，即 \( (f(x) \pm g(x))' = f'(x) \pm g'(x) \)。乘法法则分为两类，一是常数与函数的乘积，其导数等于常数乘以函数的导数，即 \( (cf(x))' = cf'(x) \)；二是两个函数的乘积，根据链式法则，\( (f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) \)。
复合函数的求导法则，也称为链式法则，是微积分中的重要工具。如果 \( y = f(u) \) 和 \( u = g(x) \)，那么 \( y \) 关于 \( x \) 的导数可以通过 \( y \) 关于 \( u \) 的导数和 \( u \) 关于 \( x \) 的导数相乘得到，即 \( \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} \)。这使得我们可以将复合函数分解成多个简单函数，逐层求导。
在解题示例中，我们看到了如何应用这些法则求解具体问题。例如，求 \( y = 2\sin(3x) + 2^{\frac{1}{5}(x-1)} \) 的导数，我们需要分别处理指数函数和三角函数的部分，然后结合链式法则和基本导数公式进行计算。
在解法二中，对 \( y = \sin 4x + \cos 4x \) 的导数的求解展示了如何利用复合函数的求导法则。首先将 \( \sin 4x \) 和 \( \cos 4x \) 视为 \( \sin(2^2x) \) 和 \( \cos(2^2x) \)，然后应用二倍角公式进行化简，再进行求导。
例题5提供了一个实际应用，要求解曲线 \( y = x(x+1)(2-x) \) 上平行于 \( y = x \) 的切线之间的距离。这里需要用到导数来找到切点，然后通过点到直线的距离公式计算两条切线间的距离。
总结来说，导数的计算和复合函数的求导法则在高中数学中占据重要地位，它们不仅用于理论学习，也是解决实际问题的关键工具。熟练掌握这些法则和技巧，对于理解函数动态行为、优化问题和物理模型的分析都至关重要。
