【幂函数概述】
幂函数是高中数学中的基础概念，主要研究形如 \( y = x^{\alpha} \) 的函数，其中 \( \alpha \) 是常数。这些函数具有丰富的性质，包括单调性、奇偶性、图象特征以及在特定区间内的表现。
【幂函数的图象和性质】
1. 幂函数的图象可以通过改变指数 \( \alpha \) 的值来变化。例如，当 \( \alpha > 0 \)，函数在第一象限是连续的；当 \( \alpha < 0 \)，函数在原点附近可能穿过x轴。
2. 当 \( \alpha \) 是正整数时，函数图象通过原点，且在正半轴上单调递增；当 \( \alpha \) 是负整数时，函数图象在x轴下方，且在正半轴上单调递减。
3. 奇函数与偶函数：若 \( \alpha \) 是偶数，则函数为偶函数，图象关于y轴对称；若 \( \alpha \) 是奇数，则函数为奇函数，图象关于原点对称。
【幂函数的应用】
1. 幂函数可以用来描述某些实际问题中的增长或衰减规律，例如在物理学、工程学和经济学中都有广泛应用。
2. 幂函数的性质可用于解决不等式和方程，如题目中的第4题，利用幂函数的单调性来确定变量的取值范围。
【幂函数的解析式】
1. 解析式的确定通常通过待定系数法，例如第10题，通过点(2, )确定幂函数的具体形式。
2. 对于给定的幂函数 \( y = x^{\alpha} \)，如果 \( \alpha \) 为负数，那么函数在 \( x = 0 \) 处无定义，且在第一象限内从无穷大下降到0；如果 \( \alpha \) 为正数，函数在 \( x = 0 \) 附近可能有最小值。
【幂函数的单调性】
1. 若 \( \alpha > 1 \)，幂函数在 \( (0, +\infty) \) 上单调递增；若 \( 0 < \alpha < 1 \)，则单调递减。
2. 当 \( \alpha < 0 \) 时，函数在 \( (0, +\infty) \) 上先递减至负无穷再递增，如第7题所示。
【解题策略】
1. 通过幂函数的基本性质判断函数的单调性、奇偶性和最值。
2. 结合图象分析，排除不符合条件的选项，如第2题中利用图象特征排除不合题意的选项。
3. 利用幂函数的定义域和值域关系解题，如第3题中找到定义域和值域不匹配的函数。
总结，幂函数是高中数学中的核心内容，理解其概念、性质和应用是学习后续高级数学的基础。通过解题训练，学生能更好地掌握幂函数的特性，并运用到实际问题中去。
