在高中数学的学习中，幂函数是一个重要的概念，特别是在基本初等函数的第一部分。幂函数的一般形式为 f(x) = x^α，其中α是常数。本章内容主要涉及幂函数的性质、图像特征以及如何运用这些知识解决实际问题。
1. 幂函数的性质：
幂函数的性质主要体现在它的指数α上。例如，当α为正整数时，函数图像通常会通过原点(0,0)；当α为1时，函数成为线性函数y=x；当α为1/2时，函数为平方根函数；当α为负数时，函数在x轴上方只有一支，并且随着x的增大而减小。
2. 图像特征：
对于题目中给出的选项，例如第1题，如果幂函数f(x)=x^α的图象经过点(2,2)，则可以得出α=1，因此4f(4)=4^2=16，所以正确答案是A. 16。这体现了幂函数中幂的乘法性质。
3. 函数的单调性：
第2题考察了幂函数在特定区间上的单调性。幂函数的单调性与α的值有关，例如，当α>1时，函数在(0,∞)上是增函数；当0<α<1时，函数在(0,∞)上是减函数。根据这个规则，我们可以判断出B. 1/2x是增函数，因为它在(0,3)区间内，α=1/2满足0<α<1。
4. 幂函数的奇偶性：
第3题要求一个幂函数既过点(0,0)和(1,1)，又要求是偶函数。偶函数满足f(-x) = f(x)。根据这些条件，只有C. y=x^(-2)符合条件，因为y=x^(-2)的图像经过(0,0)和(1,1)，同时它是偶函数。
5. 幂函数的定义域与奇函数条件：
第4题中，若函数y=x^α是定义域为R的奇函数，则α必须为奇数。因此，所有可能的α值为311,，即α=1或α=-3，选择C。
6. 函数的分类：
第7题中的函数f(x)=mx^n-mx+2，要判断它属于哪类函数。对于正比例函数，形如y=kx(k≠0)；反比例函数形如y=k/x(k≠0)；二次函数形如y=ax^2+bx+c(a≠0)；幂函数形如y=x^α。通过比较函数的形式，可以找出对应的m和n值。
7. 证明奇函数和增函数：
函数3xy=f(x)=x^3是奇函数，因为f(-x)=(-x)^3=-x^3=-f(x)，满足奇函数的定义。而对于增函数，当α>0时，幂函数在(0,∞)上是增函数，这里α=3显然大于0，所以f(x)=x^3是增函数。
8. 图象法解不等式：
解不等式312xx 1可以通过画出3x和x^2的图像来找到解集。不等式3x > x^2的解集是x>3的区间，因为在这个区间内，3x的图像在x^2图像的上方。
9. 方程解的个数判断：
使用图象法，我们可以确定方程解的个数。例如，(1) 1-x=0的解是x=1，这是通过画出y=1和y=x的图像并找交点得到的；(2) 3^2-3x^2=0的解是x=±1，因为这是两条直线y=3^2和y=3x^2相交的点。
总结来说，这部分内容涵盖了幂函数的基本性质，包括图像、单调性、奇偶性和解不等式的方法。理解并掌握这些知识点对于解决高中数学中的相关问题至关重要。通过习题的练习，学生可以更好地巩固对幂函数的理解，提升解题能力。
