### 2018_2019学年八年级数学上册第五章二元一次方程组5.7用二元一次方程组确定一次函数表达式
#### 知识点总结
本章节主要围绕如何利用二元一次方程组来确定一次函数的表达式展开，涉及到了一次函数的基本概念、二元一次方程组的应用以及通过图象解决问题等几个方面。下面将详细解释这些知识点。
### 一、一次函数的概念及表达式
一次函数的一般形式为 \(y = kx + b\)，其中 \(k\) 为斜率，\(b\) 为截距。
- **斜率**：反映了函数图像的倾斜程度，其值决定了函数图像上升或下降的趋势。
- **截距**：函数图像与 \(y\) 轴的交点，即 \(x=0\) 时的 \(y\) 值。
### 二、二元一次方程组及其解决方法
二元一次方程组一般形式为：
\[
\left\{ \begin{array}{l}
ax + by = c \\
dx + ey = f
\end{array} \right.
\]
解决二元一次方程组的方法包括代入法、消元法等。
1. **代入法**：先解出一个未知数，然后将其代入另一个方程求解。
2. **消元法**：通过相加或相减的方式消除一个未知数，从而求解另一个未知数。
### 三、通过图象解决问题
1. **确定函数表达式**：可以通过函数图像上的两个点来确定一次函数的表达式。具体步骤如下：
- 选取图像上的两个点 \(A(x_1, y_1)\) 和 \(B(x_2, y_2)\)。
- 计算斜率 \(k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\)。
- 使用其中一个点和斜率来确定截距 \(b\)。
- 得到函数表达式 \(y = kx + b\)。
2. **求解二元一次方程组**：通过观察两个一次函数的图像交点，可以求解对应的二元一次方程组。
### 四、典型例题解析
1. **例题1**：越野跑问题
- 解析：通过建立速度与时间的关系，列出方程组求解。
- 结论：全程为2200米。
2. **例题2**：解二元一次方程组
- 解析：通过图像找出两条直线的交点，并以此为基础写出方程组。
- 结论：方程组为 \(\left\{ \begin{array}{l} y = -2x + 2 \\ y = -x - 1 \end{array} \right.\)。
3. **例题3**：确定一次函数表达式
- 解析：利用面积公式和已知条件确定一次函数的斜率和截距。
- 结论：一次函数的表达式为 \(y = -2x - 2\) 或 \(y = 2x - 2\)。
4. **例题4**：玉米种子购买问题
- 解析：首先确定函数的自变量和因变量，然后根据图表信息写出不同区间内的函数表达式。
- 结论：当 \(x > 2\) 时，函数表达式为 \(y = 4x + 2\)；甲农户购买量为1.76kg，乙农户付款金额为18.66元。
5. **例题5**：寻找最短路径点
- 解析：通过求解点关于x轴的对称点，找到使 \(AP + BP\) 最小的点P。
- 结论：点P的坐标为 \((-\frac{1}{2}, 0)\)。
6. **例题6**：汽车行驶问题
- 解析：通过分析图象信息，确定每辆车的行驶速度和行驶时间的关系。
- 结论：汽车A的速度为 \(\frac{100}{3}\) km/h，汽车B的速度为100km/h；两车在3小时（或B车出发1小时）时相遇，行驶路程均为100km。
以上内容概括了本章节的主要知识点，通过这些例子的学习可以帮助学生更好地理解和掌握如何运用二元一次方程组来解决实际问题。
