在九年级数学上册第四章“图形的相似”中，我们重点关注的是相似三角形的性质及其应用。相似三角形是几何学中的一个基础概念，它们的对应角相等，对应边的比例也相同。以下是相关知识点的详细说明：
1. **对应角平分线之比与中线之比的关系**：如果两个相似三角形的对应角平分线之比为3:2，那么它们的对应中线之比也是3:2（选项B）。这是因为相似三角形的对应中线之比等于对应边之比。
2. **周长与面积之比**：两个相似多边形的周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方。如果周长之比为3:2，那么面积之比是9:4（选项C）。
3. **等边三角形中的相似性质**：在等边三角形ABC中，如果D、E、F分别位于边BC、AC、AB上，并且DE、EF、FD分别垂直于对应的边，那么根据等边三角形的性质和相似三角形的性质，可以得出△DEF的面积与△ABC面积之比为1:3（选项A）。
4. **相似三角形面积的计算**：已知两个相似三角形的一组对应边长分别为5cm和3cm，如果它们的面积之和为136cm²，较大的三角形面积可以通过面积之和减去较小三角形面积得到。设较大三角形面积为x，则较小三角形面积为(136 - x)，根据相似三角形面积比等于对应边长比的平方，有x / (136 - x) = (5/3)²，解得x=96cm²（选项C）。
5. **相似三角形周长的计算**：如果△ABC与△DEF相似，且△ABC的三边长分别为3,5,6，△DEF的最短边长为9，那么△DEF的周长P'等于原三角形周长P乘以相似比，即P' = P * (9 / 3) = 3 * 9 = 27，因此选项D是正确的。
6. **三角形面积的比值**：在问题6中，若已知△ABD的面积为a，∠DAC=∠B，可以推断出△ABD与△ACD相似，由于AD是公共边，面积之比等于对应边长的平方比，因此△ACD的面积为a * (AB^2 / AD^2) = a * (4^2 / 2^2) = 4a。
7. **四边形面积的计算**：在四边形ABCD中，AD平行于BC，CM是∠BCD的角平分线且垂直于AB，AM=AB。若四边形ABCD的面积为S，四边形AMCD的面积可以通过S减去不包含AMCD部分的面积得到，即AMCD的面积是S减去梯形ABCM和三角形ABD的面积。
8. **矩形的构造与性质**：在问题8中，需要通过剪裁一个长是宽2倍的矩形EFGH，使得一边EF在BC上。题目要求证明某些比例关系，并求矩形的周长。证明过程中会利用到矩形的平行性质以及相似三角形的性质。
9. **平面镜成像的应用**：在检查视力的情境中，使用平面镜可以解决空间限制问题。根据平面镜成像原理，光线经反射后进入人眼，通过计算反射角度和比例关系，可以确定所需平面镜的长度。
10. **资金预算与梯形面积**：社区计划在梯形空地上种植花草，根据梯形面积公式和相似三角形面积比，可以计算出每部分区域所需的花费。当已知一部分区域的花费后，可以预测剩余资金是否足够覆盖另一部分区域。
这些练习题主要涵盖了相似三角形的性质，包括对应角平分线、中线的比例关系，周长和面积的比例关系，以及等边三角形的特殊性质。此外，还涉及到平面镜成像原理、四边形和矩形的几何性质，以及实际问题中的资金预算与几何计算。这些问题要求学生不仅掌握理论知识，还要具备运用知识解决问题的能力。
