根据给定的文件内容，我们可以总结出以下几个关键的高等数学知识点：
### 一、选择题中的知识点
#### 1. 函数的等价性
- **知识点解释**：两个函数被认为是等价的（或一样的），如果它们在相同的定义域内具有相同的函数值。题目中的例子涉及到了函数的不同表达形式是否等价的问题。
- **示例解析**：选项 (B) 中给出的两个函数 \([x^2]\) 和 \([x \cdot x]\)，虽然表现形式不同，但实际上代表了同一个函数 \(y = x^2\)，因此这两个函数是等价的。
#### 2. 函数的连续性
- **知识点解释**：函数在某一点连续意味着在其邻域内函数值的变化是连续且平滑的，没有间断点。题目通过给定一个特定的函数和一个点，来判断函数在此点是否连续。
- **示例解析**：题目给出的函数 \(f(x) = \sqrt{x - 1}\) 在点 \(x = 2\) 处连续，则可以通过验证左极限、右极限与函数值是否相等来判断其连续性。
#### 3. 曲线的切线方程
- **知识点解释**：曲线的切线方程反映了曲线上某一点的瞬时变化率，即该点的导数。题目要求找出与给定直线平行的切线方程。
- **示例解析**：对于曲线 \(y = x^3\) 的切线，首先要计算出该曲线在任意点 \(x\) 处的导数 \(y' = 3x^2\)，然后利用斜率公式 \(m = 3\) 来找到平行于直线 \(y = 3x + 2\) 的切线方程。
#### 4. 函数的可导性和连续性
- **知识点解释**：函数的连续性与可导性是两个不同的概念。连续性指函数在某一点没有突变；而可导性则要求函数不仅连续，还需要满足导数存在的条件。
- **示例解析**：对于函数 \(f(x) = |x|\) 在点 \(x = 0\) 处的性质分析，可以看到函数在该点是连续的，但由于左导数和右导数不相等，因此不可导。
#### 5. 函数的极值与拐点
- **知识点解释**：极值点是指函数达到局部最大值或最小值的点；拐点则是函数的凹凸性发生变化的点。题目要求判断给定点是否为极值点和/或拐点。
- **示例解析**：函数 \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 1\) 在点 \(x = 2\) 处的性质分析表明，该点是函数的一个极小值点，并且也是拐点。
### 二、填空题中的知识点
#### 1. 函数的连续性
- **知识点解释**：题目要求通过给定条件，求解使得函数在某一点连续的参数值。
- **示例解析**：如果函数 \(f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}\) 在点 \(x = 2\) 处连续，则需计算当 \(x\) 接近 2 时的极限值，从而得出使函数在该点连续的条件。
#### 2. 曲线的切线倾斜角
- **知识点解释**：曲线在某一点的切线倾斜角可以通过计算该点的导数值来求得。
- **示例解析**：对于曲线 \(y = x^3\) 在点 \(x = 1\) 处的切线倾斜角，首先求出导数 \(y' = 3x^2\)，然后计算 \(x = 1\) 处的导数值 \(3\)，进而得到切线的倾斜角为 \(\tan^{-1} 3\)。
#### 3. 函数的渐近线
- **知识点解释**：渐近线是描述函数在某些特殊情况下行为的直线。题目要求判断给定函数的渐近线类型。
- **示例解析**：函数 \(f(x) = \frac{1}{x}\) 的渐近线分析表明，该函数有两条渐近线：一条水平渐近线 \(y = 0\) 和一条垂直渐近线 \(x = 0\)。
### 计算题中的知识点
#### 极限计算
- **知识点解释**：极限计算是高等数学中的基础概念之一，用于描述函数在接近某一值时的行为趋势。
- **示例解析**：题目要求计算极限 \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\) 和 \(\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 1}{x^2 - 1}\)。
#### 导数计算
- **知识点解释**：导数计算是求解函数在某一点的瞬时变化率的过程。
- **示例解析**：对于曲线 \(y = x^2 + 2x + 1\) 所确定的隐函数的导数计算，首先需要使用隐式求导的方法。
#### 不定积分计算
- **知识点解释**：不定积分计算用于寻找原函数，是微积分学中的重要组成部分。
- **示例解析**：题目要求计算不定积分 \(\int x^2 dx\)、\(\int \frac{1}{x} dx\) 和 \(\int e^x dx\)。
### 应用题中的知识点
#### 函数图像绘制
- **知识点解释**：绘制函数图像可以帮助直观理解函数的性质，如增减性、奇偶性等。
- **示例解析**：对于函数 \(f(x) = x^2 - 4x + 4\) 的图像绘制，可以先求出顶点、截距等关键点，再通过这些点描绘出完整的图像。
#### 几何面积计算
- **知识点解释**：利用积分方法可以求解由函数图像围成的图形的面积。
- **示例解析**：计算曲线 \(y = x^2\) 和直线 \(y = x\) 所围成的图形面积时，可以通过确定交点坐标，然后使用定积分计算出所求面积。
