计算机数学基础(下)第四次作业.pdf

计算机数学基础是IT领域不可或缺的一部分，它涉及到许多用于解决计算问题的数学方法。这份作业主要涵盖了数值分析的一些核心概念，包括方程求解、迭代法、微积分近似以及数值微分和积分。 一、单项选择题 1. 二分法求方程的根的次数n+1与函数f(x)、根的分离区间长度和误差限均有关。正确答案是(C)。 2. 用迭代公式x_n = x_n - 1 取初始值x_0 = 1，求解x^2 - x - 1.25 = 0 的近似根，根据迭代公式，x_1 = x_0 + 1。正确答案是(D)。 3. 牛顿法构造迭代公式时，不成立的是(D) 01)(nxaxf，因为牛顿法的迭代公式应该是xn+1 = xn - f(xn) / f'(xn)。 4. 弦截法通过曲线上的两点构造的直线与x轴的交点作为方程的近似根。正确答案是(D)。 二、填空题 1. 二分法求解方程的误差限与二分次数的关系为n+1 = log2(ε/(b-a))。 2. 简单迭代法要求将方程转化为f(x)的形式，以便于迭代求解。 3. 牛顿法的迭代公式为xn+1 = xn - f(xn) / f'(xn)，需要函数f(x)的一阶导数。 4. 弦截法的迭代公式为xn+1 = xn + (xn - x_{n-1}) * f(x_{n-1}) / (f(x_n) - f(x_{n-1}))。 三、计算题 1. 对于方程x - ln(x) = 2，使用二分法在区间[2, 4]内求解，要求误差不超过10^-5，需具体计算每一步迭代直至满足误差要求。 2. 方程x^5 - x - 2 = 0的近似根，同样用二分法，精确到0.01，需要逐步缩小区间并计算中间值。 3. 使用简单迭代法求解x - cos(x) = 0和4x - e^(-x) = 0，要求迭代至x_n - x_{n-1} < ε，这里ε为预先设定的精度。 4. 用牛顿法求解x - sin(x) = 0.5，要求精确到0.0001，需要多次迭代并判断收敛性。 5. 解方程x^3 + 3x + 5 = 0，利用牛顿法，精确到0.01。 6. 求1/11的近似值，精确到10^-3，可以采用迭代法或者高斯消元法。 7. 对于方程x^4 - 3x + 1 = 0，使用弦截法找到实根，精确到0.01，需要找到恰当的点进行直线截取。 四、改进欧拉公式和四阶龙格库塔法是数值微分方程求解中的常见方法。 1. 梯形公式是yk+1 = (y_k + y_{k+1}) / 2 + h * (f(x_k, y_k) + f(x_{k+1}, y_{k+1})) / 2。 2. 改进欧拉公式的校正值是yk+1 = yk + h * (f(xk, yk) + f(xk+h, yk+h*f(xk, yk)) / 2)。 3. 四阶龙格库塔法的计算公式是yk+1 = (h/6) * (k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4)，其中k_i = f(x_k + ih, y_k + ih * k_i)。 这些知识点在编程和算法设计中非常实用，尤其是对于数值稳定性和计算效率的考虑。掌握这些基本概念和方法，有助于解决实际的计算问题。