计算机视觉的数学基础 计算机视觉.pdf
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2022-04-21
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计算机视觉的数学基础
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主要介绍了在计算机视觉中关于3D变换矩阵的数学⽅法。
1. 旋转矩阵是⼀种3×3的正交矩阵，
这⾥R为3D的旋转矩阵，同样的，t为3D的平移⽮量。
由于3D旋转都可以归结成按照某个单位向量n进⾏⼤⼩为θ的旋转。所以，已知某个旋转时，可以推导出对应的旋转矩阵。该过程由
罗德⾥格斯公式表明，由于过程⽐较复杂，我们在此不作赘述，只给出转换的结果：
这⾥ 公式虽然较为复杂，但实际写成程序后，只需知道旋转⽅向和⾓度后即可完成计算。另⼀件有
趣的事是，如果⽤
表⽰与n对应的⼀个反对称矩阵，那么有：
（李代数会对后⾯的指数形式做出解释）
根据此式，我们也可以从任意给定的旋转矩阵，求出对应的转轴与转⾓。关于转⾓θ，我们对上式两边求矩阵的迹，可得：
可得
关于转轴n，由于旋转轴上的向量在旋转后不发⽣改变，说明
因此，只要求此⽅程的解向量即可。这也说明n是R特征值为1的⼀个特征向量。
总之，读者应当明⽩在3D时，旋转和平移仍可⽤转移矩阵T来描述，其结构也与2D类似。⽽T4×4构成了三维欧⽒变换群SE(3)。注
意到T虽然有16个变量，但真正的⾃由度只有6个，其中3个旋转，3个位移。
欧拉⾓是⼀种⼴为使⽤的姿态描述⽅式，以直观见长。在最常⽤的欧拉⾓表达⽅式中，我们把旋转分解成沿三个轴转动的量：滚转⾓
－俯仰⾓－偏航⾓(roll-pitch-yaw)。它的好处是⼗分的直观，且只有三个参数描述。缺点是会碰到著名的万向锁问题：在俯仰为
±90∘时，表达某个姿态的形式不唯⼀。此外，它也不易于插值和迭代。⼀般不怎么⽤，只有在验证结果是否正确时，⽅便使⽤。
2. 四元数
相⽐欧拉⾓，四元数(Quaternion)则是⼀种紧凑、易于迭代、⼜不会出现奇异值的表⽰⽅法。它在程序中⼴为使⽤，例如ROS和⼏个
著名的SLAM公开数据集、g2o等程序都使⽤四元数记录机器⼈的姿态。
四元数仅是3D姿态的⼀种表达⽅式，我们⽤⼀个单位四元数表达原本⽤旋转矩阵表⽰的三维旋转。这样做⼀个直接的好处是省空间。
⼀个旋转阵有9个分量，但只有三个⾃由度。那么，能不能⽤三个数来描述呢？可以是可以的，但不可避免会出现奇异的情况，欧拉⾓
就是⼀个例⼦。⽽四元数，⽐三维向量多了⼀个分量，从⽽可以⽆奇异地表⽰各种姿态。
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