书书书
!!
第十二章
数 项 级 数
内容提要
!
一
!
定义
给定一个数列
!
!
"
"#对它的各项依次用
$
!
%
号连接起来的表示式
!
"
!
!
#
!
&&
!
"
!
&&
!
称为数项 级 数或 无 穷级 数
’
也常 简 称级 数(#其中
!
"
称数 项 级数
!
的通 项
#
数项 级 数
!
记 作
"
$
"
$
"
!
"
或
"
!
"
#
二
!
级数收敛的柯西准则
级数
!
收敛的充要条件是
)
任给
!
#
%
#
总存在自然数
%
#
使得当
&
#
%
和任意的自然数
’
#
都有
$
!
&
!"
!
!
&
!#
!
&
!
!
&
!
’
$%
!
反之
#
级数
!
发散的充要条件是
)
存在某正数
!
%
#
对任何自然数
%
#
都存在
&
%
#
%
和自然数
’
%
#
有
$
!
&
%
!"
!
!
&
%
!#
!
&
!
!
&
%
!
’
%
$&
!
由此易得
)
若级数
!
收敛
#
则
&’(
)
’
!
$
*
)
+*,
三
!
正项级数收敛性的判别方法
"-
正项级数
!
"
!
!
#
!
&
!
!
"
!
&& 收敛的充要条件是
)
部分和数列
!
(
"
"
有界
#
即存在某正数
)
#
对一切自然数
"
有
(
"
%
)
#
#-
比较判别法
.-
比较原则的极限形式
/-
达朗贝尔判别法
’
或称比较判别法
(
0-
比较判别法的极限形式
*
!
*
!!
数学分析同步辅导及习题全解
"
下册
#
1-
柯西判别法
’
或称根式判别法
(
2-
根式判别法的极限形式
3-
积分判别法
4-
拉贝判别法
"%-
拉贝判别法的极限形式
四
!
一般项级数收敛性的判别方法
"-
级数
"
$
!
"
$
收敛
#
则级数
"
!
"
绝对收敛
#
若
"
!
"
收敛
#
"
$
!
"
$
发散
#
称级数
"
!
"
为
条件收敛
#
#-
莱布尼兹判别法
.-
阿贝尔判别法
/-
狄利克雷判别法
典型例题与解题技巧
$
例
!
%
!
设
"
$
"
$
"
*
#
"
收敛
#
证明
)
"
$
"
$
#
*
"
!
"
&)
"
收敛
’
*
"
#
%
(
#
分析
!
本题主要考查正项级数的判敛
#
要求灵活运用正项级数的几种判敛法
#
证明
!
%
%
*
"
!
"
&)
"
%
"
#
*
#
"
!
"
"
&)
#
’ (
"
易知
)
"
$
"
$
#
"
"
&)
#
"
收敛
’
积分判别法(#又
"
$
"
$
#
*
#
"
收敛
#
所以
"
$
"
$
#
"
#
*
#
"
"
"
&)
#
’ (
"
收敛
#
由比较判别法知
"
$
"
$
#
*
"
!
"
&)
"
收敛
’
*
"
#
%
(
#
$
例
"
%
!
设
+
’
,
(
在点
,
+%
的某一邻域内具有连续的二阶导数
#
且
&’(
,
’
%
+
’
,
(
,
+%
#
证明
)
级数
"
$
"
$
"
+
’
"
"
(
绝对收敛
#
分析
!
本题考查级数与之前所学知识的综合运用
#
级数的绝对收敛的判定
#
证明
!
由
&’(
,
’
%
+
’
,
(
,
+%
#
又
+
’
,
(
在
,
+%
的某邻域内具有连续的二阶导数
#
可推出
+
’
%
(
+%
#
!
+
’
-
%
(
+%
将
+
’
,
(
在
,
+%
的某邻域内展成一阶泰勒公式
+
’
,
(
+
+
’
%
(
!
+
’
-
%
(
,
!
"
#
+
.
’
"
(
,
#
+
"
#
+
.
’
"
(
,
#
!
’
"
在
%
与
,
之间
(
又由题设
+
’
.,
(
在属于邻域内包含原点的一个小闭区间 连续
#
因此
(
)
#
%
#
使
$
+
’
.,
(
$)
!
#
于是
$
+
’
,
(
$
+
"
#
$
+
.
’
"
(
$
,
#
)
!
#
,
#
令
,
+
"
"
#
则
$
+
’
"
"
(
$)
!
#
*
"
"
#
#
因为
"
$
"
$
"
"
"
#
收敛
#
故
"
$
"
$
"
+
’
"
"
(
绝对收敛
#
*
"
*
第十二章
!
数项级数
历年考研真题评析
!
$
题
!
%
!
’
中山大学
#
#%%1
年
(
级数
"
$
"
$
"
*
"
收敛的充要条件是
)
对任意的正整数序列
/
"
#
/
#
#&#
/
"
#&
都有
&’(
"
’
!
$
’
*
"
!"
!
*
"
!#
!
&
!
*
"
!
/
"
(
+%
#
分析
!
本题考查对级数收敛的定义的理解程度
#
证明
!
必要性
!
因为
"
$
"
$
"
*
"
收敛
#
所以对
*
!
#
%
#
(
%
#
%
#
当
"
#
%
及
*
0
+
%
#
有
$
*
"
!"
!
*
"
!#
!
&
!
*
"
!
’
$%
!
特别地
$
*
"
!"
!
*
"
!#
!
&
!
*
"
!
/
"
$%
!
所以
&’(
"
’
!
$
’
*
"
!"
!
*
"
!#
!
&
!
*
"
!
/
"
(
+%
充分性
!
用反证法
#
若
"
*
"
发散
#
则
(
!
%
#
%
#
*
%
#
%
#
(
"
#
%
及自然数
’
#
使
$
*
"
"
!"
!
&
!
*
"
!
’
$&
!
%
特别地
%
"
+"
#
(
"
"
#
"
及自然数
/
"
使
$
*
"
!"
!
&
!
*
"
"
!
/
"
$&
!
%
%
#
+(56
!
"
"
#
#
"#
(
"
#
#
%
#
#
及自然数
/
#
#
使
$
*
"
"
!"
!
&
!
*
"
#
!
/
#
$&
!
%
&&&&
这与
&’(
"
’
!
$
’
*
"
!"
!
*
"
!#
!
&
!
*
"
!
/
"
(
+%
的假设矛盾
#
$
题
"
%
!
’
同济大学
#
#%%1
年
(
证明
)
级数
"
$
"
$
"
’
7"
(
"
8’)
,
"
*
,
,
%
都是条件收敛的
#
分析
!
本题考查条件收敛的判断
#
莱布尼兹判别法与比较判别法的灵活运用
#
证明
!
不妨设
,
#
%
#
则
(
%
,
#
%
#
当
"
#
%
,
时
#
%
%
,
"
%
#
#
#
此时
8’)
,
"
#
%
#
且
8’)
,
! "
"
为单调递减
数列#且
&’(
"
’
!
$
8’)
,
"
+%#
由莱布尼兹判别法知
"
$
"
$
"
’
7"
(
"
8’)
,
"
收敛
#
而当
"
#
%
,
时# ’
7"
(
"
8’)
,
"
+8’)
,
"
#
%
#
&’(
"
’
!
$
8’)
,
"
,
"
+"
#
又
"
$
"
$
"
,
"
发散
#
由比较判别法知
"
$
"
$
"
8’)
,
"
也发散
#
所以
*
,
,
%
#
级数
"
$
"
$
"
’
7"
(
"
8’)
,
"
都是条件收敛的
#
课后习题全解
!!!
9"
!
级数的收敛性
-
"-
证明下列级数的收敛性
#
并求其和数
)
*
#
*
!!
数学分析同步辅导及习题全解
"
下册
#
’
"
(
"
"
*
1
1
"
1
*
""
1
"
""
*
"1
1
&
1
"
’
0
"
2
/
(’
0
"
1
"
(
1
&+
’
#
(’
"
#
1
"
.
(
1
’
"
#
#
1
"
.
#
(
1
&
1
’
"
#
"
1
"
.
"
(
1
&+
’
.
(
"
"
$
"
$
"
"
’
"
1
"
(’
"
1
#
(
+
’
/
(
"
"
$
"
$
’
"
1
!
#
2
#
"
1
!
"
1
!
"
(+
’
0
(
"
"
$
"
$
#
"
2
"
#
"
-
!
分析
!
’
"
(
进行积分和差的转化
#
’
/
(
以某一项拆分为两项的方式重新组合原式
#
!
解
!
’
"
(
(
"
$
"
3
$
"
"
"
’
0
3
2
/
(’
0
3
1
"
(
$
"
0
"
3
$
"
"
’
"
0
3
2
/
2
"
0
3
1
"
(
$
"
0
’
"
2
"
0
"
1
"
(
于是
(
$
&’(
"
’
$
(
"
$
"
0
#
故级数收敛且其和为
"
0
-
’
#
(
(
"
$
"
3
$
"
"
’
"
#
3
1
"
.
3
(
$
"
3
$
"
"
"
#
3
1
"
3
$
"
"
"
.
3
$
"
#
2
"
#
"
1
"
"
2
"
#
1
"
.
2
"
.
"
1
"
"
2
"
.
$
.
#
2
"
#
"
2
"
#
4
.
"
于是
(
$
&’(
"
’
$
(
"
$
.
#
#
故级数收敛且其和为
.
#
-
’
.
(
(
"
$
"
3
$
"
"
"
3
’
3
1
"
(’
3
1
#
(
$
"
#
"
3
$
"
"
,
"
3
’
3
1
"
(
2
"
’
3
1
"
(’
3
1
#
(
-
$
"
#
,
"
#
2
"
’
"
1
"
(’
"
1
#
(
-
于是
(
$
&’(
"
’
$
(
"
$
"
/
#
故级数收敛且其和为
"
/
-
’
/
(
(
"
$
"
3
$
"
"
’
3
1
!
#
2
#
3
1
!
"
1
!
3
(
$
"
3
$
"
"
’
3
1
!
#
2
3
1
!
"
(
2
"
3
$
"
"
’
3
1
!
"
2
!
3
(
$
’
"
1
!
#
2
!
#
(
2
’
"
1
!
"
2
"
(
$
"
2
!
#
1
"
"
1
!
#
1
"
1
!
"
于是
(
"
$
&’(
"
’
$
(
"
$
"
2
!
#
#
故级数收敛且其和为
"
2
!
#-
’
0
(
(
"
$
#
(
"
2
(
"
$
"
3
$
"
"
#
3
2
"
#
3
2
"
2
"
3
$
"
"
#
3
2
"
#
3
$
"
1
"
3
$
#
"
#
3
2
"
#
3
2
"
2
"
3
$
"
"
#
3
2
"
#
3
$
"
1
"
3
$
"
"
2
"
#
#
3
2
#
"
2
"
#
"
*
$
*
第十二章
!
数项级数
$
"
1
"
2
"
#
"
2
"
"
2
"
#
2
#
"
2
"
#
"
$
.
2
"
#
"
2
#
2
#
"
2
"
#
"
’
"
&
#
(
于是
(
$
&’(
"
’
$
(
"
$
.
#
故级数收敛且其和为
.-
.
#-
证明)若级数
"
!
"
发散#
5
,
%
#则
"
5!
"
也发散
-
!
证明
!
因为级数
"
!
"
发散
#
即
(
!
%
#
%
#
对任何
%
+
:
1
#
总有
&
%
+
:
1
和
’
%
+
:
1
使
6
!
&
%
1
"
1
!
&
%
1
#
1
&
1
!
&
%
1
’
%
6
&
!
%
所以
6
5!
&
%
1
"
1
5!
&
1
#
1
&
1
5!
&
%
1
’
%
6$6
5
66
!
&
%
1
"
1
!
&
%
1
#
1
&
1
!
&
%
1
’
%
6
&
6
5
6
!
%
于是
"
5!
"
亦发散
-
.
.-
设级数
"
!
"
与
"
7
"
都发散
#
试问
"
’
!
"
1
7
"
(
一定发散吗
.
又若
!
"
与
7
"
’
"
$
"
#
#
#&(都是非
负数
#
则能得出什么结论
.
!
解
!
若
"
!
"
#
"
7
"
都发散
#
则
"
’
!
"
1
7
"
(
不一定发散
-
例如
#
"
"
和
"
’
2
"
(
是发散的
#
但
"
’
"
1
’
2
"
((是收敛的
+
"
"
和
"
#
是发散的
#
"
’
"
1
#
(
$
"
.
亦是发散的
-
若
"
!
"
#
"
7
"
都发散且
!
&
%
#
7
"
&
%
#
则
"
’
!
"
1
7
"
(
发散
-
由柯西收敛准则
#
知
(
!
%
#
!
"
#
%
#
对任何的
%
+
:
1
#
总存在
&
%
#
’
%
#
&
"
+
:
1
#
使
6
!
&
%
1
"
1
!
&
%
1
#
1
&
1
!
&
%
1
’
%
6$
!
&
%
1
"
1
!
&
%
1
#
1
&
1
!
&
%
1
’
%
&
!
%
和
6
7
&
"
1
"
1
7
&
"
1
#
1
&
1
7
&
"
1
’
"
6$
7
&
"
1
"
1
7
&
"
1
#
1
&
1
7
&
"
1
’
"
&
!
"
故
6
’
!
&
%
1
"
1
7
&
%
1
"
(
1
’
!
&
%
1
#
1
7
&
%
1
#
(
1
&
1
’
!
%
1
’
%
1
7
&
%
1
’
%
(
6
$
’
!
&
%
1
"
1
!
&
%
1
#
1
&
1
!
&
%
1
’
%
(
1
’
7
&
%
1
"
1
7
&
%
1
#
1
&
7
&
%
1
’
%
(
&
!
%
即
"
’
!
"
1
7
"
(
必发散
-
-
/-
证明
)
若数列
!
*
"
"
收敛于
*
#
则级数
"
$
"
$
"
’
*
"
2
*
"
1
"
(
$
*
"
2
*
#
!
分析
!
单项收敛则和也收敛
#
!
证明
!
由已知条件知
#
数列
!
*
"
"
收敛于
*
#
即
&’(
"
’
$
*
"
$
*
#
故
(
"
$
"
3
$
"
"
’
*
3
2
*
3
1
"
(
$
*
"
2
*
"
1
"
从而
(
$
&’(
"
’
$
(
"
$
&’(
"
’
$
’
*
"
2
*
"
1
"
(
$
*
"
2
&’(
"
’
$
*
"
1
"
$
*
"
2
*
-
0-
证明
)
若数列
!
8
"
"
有
&’(
"
’
$
8
"
$
$
#
则
’
"
(
级数
"
’
8
"
1
"
2
8
"
(
发散
+
’
#
(
当
8
"
,
%
时
#
级数
"
"
8
"
2
"
8
"
1
’ (
"
$
"
8
"
-
分析
!
’
#
(
中间项相互抵消即可
#
证明
!
’
"
(
因为
(
"
$
"
3
$
"
"
’
8
3
1
"
2
8
3
(
$
8
"
1
"
2
8
"
(
$
&’(
"
’
$
(
"
$
&’(
"
’
$
’
8
"
1
"
2
8
"
(
$
$
*
%
*