第二节 函数的求导法则.ppt
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### 函数的求导法则详解 #### 一、四则运算求导法则 求导法则是微积分中的基础概念之一,对于理解函数的变化率及其应用至关重要。本节将重点介绍四则运算求导法则。 ##### 和、差、积、商求导法则 1. **和与差的求导法则**: - 如果函数 \(u(x)\) 和 \(v(x)\) 在点 \(x\) 可导,则它们的和 \(u(x) + v(x)\) 以及差 \(u(x) - v(x)\) 也在该点可导。 - **求导结果**:\((u(x) + v(x))' = u'(x) + v'(x)\),\((u(x) - v(x))' = u'(x) - v'(x)\)。 2. **积的求导法则**(乘法规则): - 如果函数 \(u(x)\) 和 \(v(x)\) 在点 \(x\) 可导,则它们的乘积 \(u(x)v(x)\) 也在该点可导。 - **求导结果**:\((u(x)v(x))' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)\)。 3. **商的求导法则**(除法规则): - 如果函数 \(u(x)\) 和 \(v(x)\) 在点 \(x\) 可导,且 \(v(x) \neq 0\),则它们的商 \(\frac{u(x)}{v(x)}\) 也在该点可导。 - **求导结果**:\(\left(\frac{u(x)}{v(x)}\right)' = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{(v(x))^2}\)。 **例题**: - **例1**:求函数 \(f(x) = 3x^2 + 4x - 5\) 的导数。 - **解答**:\(f'(x) = (3x^2 + 4x - 5)' = 6x + 4\)。 - **例2**:求函数 \(g(x) = \frac{x^2 + 1}{x - 1}\) 的导数。 - **解答**:\(g'(x) = \left(\frac{x^2 + 1}{x - 1}\right)' = \frac{(2x)(x - 1) - (x^2 + 1)(1)}{(x - 1)^2} = \frac{x^2 - 2x - 1}{(x - 1)^2}\)。 **推论**:对于常数 \(C\),\((C \cdot u(x))' = C \cdot u'(x)\)。 #### 二、反函数的求导法则 反函数的求导法则是另一个重要的求导法则,用于计算反函数的导数。 ##### 反函数求导法则 - **定义**:如果函数 \(y = f(x)\) 在某个区间内单调且可导,其反函数 \(x = f^{-1}(y)\) 也存在并且可导,则有 \(\left(f^{-1}(y)\right)' = \frac{1}{f'(x)}\),其中 \(x = f^{-1}(y)\)。 **例题**: - **例3**:求反三角函数的导数,如 \(y = \sin^{-1}(x)\)。 - **解答**:假设 \(y = \sin^{-1}(x)\),则 \(x = \sin(y)\)。因此,\(\cos(y) = \sqrt{1 - x^2}\),从而得到 \(\left(\sin^{-1}(x)\right)' = \frac{1}{\cos(y)} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\)。 #### 三、复合函数的求导法则 复合函数的求导法则是处理复杂函数的重要工具,通常称为链式法则。 ##### 链式法则 - **定义**:如果函数 \(y = g(u)\) 在 \(u\) 处可导,并且 \(u = f(x)\) 在 \(x\) 处可导,则复合函数 \(y = g(f(x))\) 在 \(x\) 处可导,且其导数为 \(\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}\)。 **例题**: - **例4**:求函数 \(y = e^{\sin(x)}\) 的导数。 - **解答**:令 \(u = \sin(x)\),则 \(y = e^u\)。根据链式法则,\(\frac{dy}{dx} = e^u \cdot \cos(x) = e^{\sin(x)} \cdot \cos(x)\)。 #### 四、初等函数的求导问题 初等函数包括多项式函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。这些函数的求导法则在实际应用中极为常见。 ##### 初等函数求导 1. **基本初等函数的导数**:如 \((x^n)' = nx^{n-1}\),\((e^x)' = e^x\),\((\ln(x))' = \frac{1}{x}\) 等。 2. **复合函数求导法则**:用于求解由基本初等函数通过复合构成的函数的导数。 3. **四则运算求导法则**:用于求解由基本初等函数通过加减乘除构成的函数的导数。 **例题**: - **例6**:求函数 \(y = \ln(\cos(x))\) 的导数。 - **解答**:令 \(u = \cos(x)\),则 \(y = \ln(u)\)。根据链式法则,\(\frac{dy}{dx} = \frac{1}{u} \cdot (-\sin(x)) = -\frac{\sin(x)}{\cos(x)} = -\tan(x)\)。 通过以上内容的学习,我们可以看到求导法则在微积分中的重要性和实用性,掌握这些基本法则能够帮助我们更有效地解决实际问题。
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