第十节 闭区间上连续函数的性质.ppt

### 闭区间上连续函数的性质 #### 一、有界性与最大值最小值定理 本节首先介绍闭区间上连续函数的有界性和最大值最小值定理。 **1.1 最大值和最小值定理** **定理1**（最大值和最小值定理）：如果函数\(f(x)\)在闭区间\([a,b]\)上连续，则函数\(f(x)\)在该区间上必定达到其最大值和最小值。 **注意**： - 如果区间是开区间，即\((a,b)\)，则该定理可能不成立。 - 如果区间内存在间断点，即函数在某个点处不连续，则该定理也可能不成立。 **证明**：由于函数在闭区间上连续，因此可以利用极限理论来证明此定理。具体而言，可以通过考虑函数图像上的极值点来证明这一结论。这些极值点包括局部极大值和局部极小值点，以及区间的端点。通过比较这些点上的函数值，可以确定函数在整个闭区间上的最大值和最小值。 **应用实例**：考虑函数\(f(x)=x^2\)在闭区间\([-1,2]\)上的情况。通过计算可知，该函数在区间端点\(-1\)和\(2\)处分别取得最小值\(1\)和最大值\(4\)。因此，根据最大值和最小值定理，我们可以确信在这个区间内，函数\(f(x)\)确实达到了它的最大值和最小值。 **1.2 有界性定理** **定理2**（有界性定理）：如果函数\(f(x)\)在闭区间\([a,b]\)上连续，则函数\(f(x)\)在该区间上是有界的。 **证明**：由于函数在闭区间上连续，并且根据最大值和最小值定理，我们知道函数在该区间上有最大值\(M\)和最小值\(m\)。因此，对于所有的\(x \in [a,b]\)，都有\(m \leq f(x) \leq M\)。这表明函数\(f(x)\)在闭区间\([a,b]\)上是有界的。 #### 二、零点定理与介值定理 本节继续探讨闭区间上连续函数的零点定理与介值定理。 **2.1 零点定理** **定理3**（零点定理）：如果函数\(f(x)\)在闭区间\([a,b]\)上连续，并且在区间的两端点\(f(a)\)与\(f(b)\)异号，即\(f(a)f(b)<0\)，那么在开区间\((a,b)\)内至少存在一点\(c\)，使得\(f(c)=0\)。 **几何解释**：假设函数在\(a\)处为正，在\(b\)处为负，则函数图像必定会穿过\(x\)轴，即在\((a,b)\)内至少有一个零点。 **2.2 介值定理** **定理4**（介值定理）：如果函数\(f(x)\)在闭区间\([a,b]\)上连续，并且在区间的两端点取不同的函数值\(f(a)\)与\(f(b)\)，那么对于\(f(a)\)与\(f(b)\)之间任意一个数\(C\)，在开区间\((a,b)\)内至少存在一点\(x\)，使得\(f(x)=C\)。 **几何解释**：如果将函数图像想象成一条曲线，介值定理意味着这条曲线从一个高度上升到另一个高度时，它必须穿过所有介于这两个高度之间的所有水平线。 #### 三、小结 本节总结了四个重要的定理：有界性定理、最大值和最小值定理、零点定理及介值定理。这些定理的成立条件包括两个关键因素： 1. **闭区间**：函数必须在闭区间\([a,b]\)上定义。 2. **连续性**：函数在该区间上必须连续。 **解题思路**： - **直接法**：先利用最大值和最小值定理确定函数的范围，再利用介值定理找到特定的值。 - **辅助函数法**：构造一个辅助函数\(F(x)\)，然后利用零点定理解决问题。 #### 四、练习题 给出了一些具体的练习题目，帮助学生巩固所学知识。例如，P74的第1题和第5题，以及总习题一中的第1、2、3、8、9、10、13题等。 通过以上内容的学习，我们不仅掌握了闭区间上连续函数的基本性质，还学会了如何运用这些定理解决实际问题。这对于深入理解函数及其性质至关重要。