高等数学是数学的基础课程，其中涉及了许多核心概念和定理，尤其在连续函数的运算与性质方面。在第一章第十节中，我们重点关注了以下几个知识点：
**四则运算的连续性**指的是加、减、乘、除运算下的连续性。例如，三角函数如正弦、余弦、正切等在其定义域内都是连续的。这意味着，如果两个连续函数f(x)和g(x)的定义域重合，那么f(x)±g(x)和f(x)·g(x)以及f(x)/g(x)（g(x)不等于0）也都是连续的。
**反函数与复合函数的连续性**。如果一个函数y=f(x)在某区间上是单调增加或单调减少且连续的，那么它的反函数x=φ(y)在对应的区间上也是连续的，并且同样具有单调性。这表明，如果f(x)可逆，那么其反函数的连续性与原函数保持一致。
接着，**初等函数的连续性**是一个重要的概念。基本初等函数，如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数及其反函数，在它们的定义域内都是连续的。不仅如此，根据定理5，任何通过有限次基本运算组合而成的初等函数在其定义区间内也是连续的。然而，值得注意的是，初等函数在其定义区间内连续，但并不意味着在整个定义域内都连续，因为可能存在孤立点，例如分母为零的地方。
定理3和定理4讨论了极限与连续性的关系，表明在一定条件下，函数值的极限可以与函数值直接相等。定理6进一步扩展了这个概念，表明所有初等函数在其定义区间内都连续。
在**闭区间上连续函数的性质**部分，我们学习了几个关键定理。**有界性与最大值最小值定理**指出，如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，那么f(x)必定在该区间上有界，并且可以取得最大值和最小值。这与开区间不同，开区间上的函数可能没有最大值或最小值。例如，函数f(x)=1/x在(0,1)上既无最大值也无最小值。
此外，**零点定理**和**介值定理**是连续函数的重要性质。零点定理保证了如果连续函数在某区间上在零的两侧取不同符号，那么它必在该区间内至少有一个零点。介值定理（也称为中间值定理）则表明，如果函数在闭区间[a, b]上连续，且在a和b处有不同的函数值，那么对于任意c位于f(a)和f(b)之间，都存在x∈[a, b]使得f(x)=c。
高等数学中关于连续函数的这部分内容为我们提供了理解函数行为、分析问题和解决实际问题的坚实基础。掌握这些定理和性质对于后续的微积分、实分析以及其他数学分支的学习至关重要。
