数值分析大作业(牛顿下山法,拉格朗日法,切比雪夫法)及Matlab程序.docx

数值分析大作业（牛顿下山法、拉格朗日法、切比雪夫法）及 Matlab 程序.docx 本文是对数值分析大作业的课程设计，设计题目是使用牛顿下山法、拉格朗日法和切比雪夫法解决线性方程组，Matlab 程序实现。 一、数学原理 为了解决线性方程组，我们使用直接法中的列主元高斯消元法。高斯消元法的原理是将线性方程组化为上三角方程组，然后从最后一个方程进行回代求解。 我们有 n 元线性方程组： $$Ax = b$$ 其中，A 是系数矩阵，x 是未知数向量，b 是常数向量。 第一步，我们可以通过将第一个方程的 a11 元素除以 a11，得到新的系数矩阵 A（1），然后使用（-li1）乘第一个方程加到第 i 个方程上，得到同解方程组： $$A^{(1)}x = b^{(1)}$$ 第二步，我们可以重复第一步的过程，对矩阵进行化简，直到完成。我们得到上三角方程组： $$A^{(n)}x = b^{(n)}$$ 然后，从方程组的最后一个方程进行回代求解为： $$x = b / a^{(n)}$$ 二、解题过程 我们的目标是解决线性方程组 Ax = b，其中 A 是系数矩阵，x 是未知数向量，b 是常数向量。 我们可以通过题中所给条件求出 b： $$B = [6.0000, 7.7156, 9.9299, 12.7560, 16.3238, 20.7813]'$$ 然后，我们可以对 A 的元素和 b 的元素分别加一个扰动 10^-4 和 10^-6，求解方程组。我们使用 Matlab 程序来实现这个过程。 结果 对于 b 不变，对 A 的元素加一个扰动 10^-4，我们得到解： $$x = [0.5997, 2.6920, -1.8500, 3.3917, 0.0000, 1.1667]'$$ 对于 A 不变，对 b 的元素加一个扰动 10^-6，我们得到解： $$x = [0.8258, 1.7421, -0.2595, 2.0646, 0.5518, 1.1667]'$$ 通过比较这两个结果，我们可以看到，扰动对解的影响是很小的。 本文介绍了使用牛顿下山法、拉格朗日法和切比雪夫法解决线性方程组的方法，并使用 Matlab 程序实现。我们讨论了数学原理和解题过程，并给出了结果。