-matlab-二分法求解非线性方程的近似解.pdf

二分法，也称为折半法，是一种数值分析方法，常用于寻找非线性方程的根，即求解方程 \( f(x) = 0 \) 的解。在MATLAB环境中，我们可以编写M-文件来实现二分法求解非线性方程的近似解。下面详细解释这种方法及其在MATLAB中的实现。 二分法的基本思想是：假设给定一个连续函数 \( f(x) \)，在已知该函数在某区间 \([a, b]\) 内存在一个根（即 \( f(a) \cdot f(b) < 0 \)），那么在该区间内必定存在至少一个根。每次迭代时，我们取区间的中点 \( m = (a + b) / 2 \)，计算 \( f(m) \) 的值，然后根据 \( f(a) \cdot f(m)\) 和 \( f(m) \cdot f(b) \) 的符号判断根在哪半区间，并更新区间的边界。 在给出的M-文件 `funn1` 中，函数接收三个参数：`fun` 为待求解的非线性方程的函数表达式，`a` 和 `b` 分别为初始搜索区间的左右端点，`D` 为设定的精度，即当区间长度小于 `D` 时认为找到的解足够精确。如果未提供 `D`，则默认设置为 \(10^{-6}\)。 函数检查输入参数是否正确，若少于三个参数，则提示错误。接着，计算 \( f(a) \) 和 \( f(b) \) 的值，如果它们的乘积大于零，说明区间选择错误，因为根据零点定理，根必须存在于乘积为负的区间内。如果 \( f(a) = 0 \) 或 \( f(b) = 0 \)，则直接返回对应的点作为解。否则，开始迭代过程，直到区间长度小于设定的精度 `D`。 在迭代过程中，使用 `while` 循环不断缩小区间。每次迭代，计算中点 \( m \) 及其对应的函数值 \( f(m) \)。然后根据 \( f(a) \cdot f(m) \) 和 \( f(m) \cdot f(b) \) 的符号，更新区间的左右边界。如果 \( f(m) = 0 \)，则找到精确解，跳出循环。返回中点 \( m \) 作为非线性方程的近似解，以及 \( f(m) \) 作为该解处的函数值。 示例中定义了一个函数 `fun`： \[ f(x) = x^3 \cos(x) + 2x^2 - 2\sin(x) \] 通过调用 `funn1` 函数，使用区间 \([-5, 5]\) 来搜索方程 \( f(x) = 0 \) 的根，得到近似解 \( x_0 \approx 2.3978 \) 和对应的函数值 \( f(x_0) \approx -4.1724 \times 10^{-6} \)。 总结起来，MATLAB 中的二分法求解非线性方程的近似解主要步骤包括：设定初始区间、计算中点函数值、根据函数值调整区间、判断解的精确度并退出循环。这种方法适用于连续函数且已知根存在的区间，是一种简单而有效的数值解法。