拉格朗日中值定理.doc

"拉格朗日中值定理" 拉格朗日中值定理是微分学应用的桥梁，在高等数学的一些理论推导中起着很重要的作用。研究拉格朗日中值定理的证明方法，力求正确地理解和掌握它，是十分必要的。 证明拉格朗日中值定理的关键在于引入适当的辅助函数。实际上，能用来证明拉格朗日中值定理的辅助函数有无数个，因此如果以引入辅助函数的个数来计算，证明拉格朗日中值定理的方法可以说有无数个。 首先对罗尔中值定理和拉格朗日中值定理作一概述。罗尔中值定理是指如果函数满足条件：在闭区间上连续；在开区间可导；则在至少存在一点，使得罗尔中值定理的几何意义：如果连续光滑曲线在点处的纵坐标相等，那么，在弧上至少有一点，曲线在点的切线平行于轴。 拉格朗日中值定理是指如果函数满足条件：在闭区间上连续；在开区间可导；则在至少存在一点，使拉格朗日中值定理的几何意义：函数在区间上的图形是连续光滑曲线弧上至少有一点，曲线在点的切线平行于弦。 拉格朗日中值定理的证明方法有多种，以下都是常见的证明方法： 3.1 教材证法证明 作辅助函数，显然，函数满足在闭区间上连续，在开区间可导，而且．于是由罗尔中值定理知，至少存在一点，使得。 3.2 用作差法引入辅助函数法 作辅助函数，显然，函数在闭区间上连续，在开区间可导，，因此，由罗尔中值定理得，至少存在一点，使得。 3.3 用对称法引入辅助函数法 在第二种方法中引入的无数个辅助函数中关于轴的对称函数也有无数个，显然这些函数也都可以用来证明拉格朗日中值定理。 3.4 转轴法 由拉格朗日中值定理的几何图形可以看出，若把坐标系逆时针旋转适当的角度，得新直角坐标系，若平行于弦，则在新的坐标系下满足罗尔中值定理，由此得拉格朗日中值定理的证明。 3.5 用迭加法引入辅助函数法 让迭加一个含待顶系数的一次函数，例如令或，通过使，确定出，即可得到所需的辅助函数。 3.6 用行列式引入辅助函数法 构造一个含且满足罗尔中值定理的辅助函数。 拉格朗日中值定理是微分学应用的桥梁，在高等数学的一些理论推导中起着很重要的作用。研究拉格朗日中值定理的证明方法，力求正确地理解和掌握它，是十分必要的。