游戏编程数学与物理基础.pdf

### 游戏编程中的数学与物理基础知识点概览 #### 一、坐标系统与直线的基本概念 **坐标系统的表示：** - **二维坐标系统**：使用一个2元组(x, y)来表示平面上的一个点。 - **三维坐标系统**：使用一个3元组(x, y, z)来表示空间中的一个点。 - **坐标系的一致性**：在使用坐标系统时，需要确保x、y、z轴的起点和方向保持一致。 **直线的基本属性：** - **斜率（Slope）**：斜率是直线倾斜程度的量度，定义为\( \text{slope} = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \)。 - **斜率的性质**： - 斜率相等的两条直线平行。 - 斜率为负值，表示直线沿左上角到右下角延伸。 - 斜率为正值，表示直线沿左下角到右上角延伸。 - 斜率为0，直线为水平线，和x轴平行。 - 分母为0，表示直线为垂直型，和y轴平行。 - 相互垂直的直线斜率的积为-1。 - **直线的标准表示形式**：\( Ax + By = C \)，斜率为\( m = -\frac{A}{B} \)。 - **斜截式**：\( y = mx + b \)，斜率为\( m \)。 - **点斜式**：\( (y - y_1) = m(x - x_1) \)，斜率为\( m \)。 **线性方程组的解的情况：** - 如果两直线的斜率不相等，则有一组解，该解为两直线交点。 - 如果两直线的斜率以及在y轴上的截距相等，则有无穷组解，即两直线重叠。 - 如果两直线的斜率以及在y轴上的截距不相等，则无解，即两直线平行。 #### 二、相关几何知识 **1. 两点间的距离：** - **二维场景中的距离公式**：\( d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \)。 - **三维场景中的距离公式**：\( d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} \)。 **2. 两点的中点坐标**：设有点\( P_1(x_1, y_1) \)和\( P_2(x_2, y_2) \)，两点的中点\( P_3 \)的坐标是\( (\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}) \)。 **3. 抛物线**： - **抛物线的特点**：抛物线总是轴对称的。 - **决定抛物线形状的因素**： - 顶点：抛物线的与对称轴的交点。 - 对称轴。 - **对称轴垂直的抛物线方程**：\( y = a(x - h)^2 + k \)，顶点是\( (h, k) \)，对称轴为\( x = h \)。 - **对称轴水平的抛物线方程**：\( x = a(y - k)^2 + h \)，顶点是\( (h, k) \)，对称轴为\( y = k \)。 - **开口方向与大小**：由常数\( a \)决定，正数开口向上/向右，负数开口向下/向左，\( |a| \)越大，开口越小。 **4. 圆与球**： - **圆**：所有到定点（圆心）长度等于定长（半径）的点的集合。 - **圆的方程**：\( (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \)，圆心是\( (h, k) \)，半径是\( r \)。 - **球**：一个圆绕着圆心旋转所得到的。 - **球体的方程**：\( (x - h)^2 + (y - k)^2 + (z - l)^2 = r^2 \)，圆心是\( (h, k, l) \)，半径是\( r \)。 **5. 在碰撞检测中的应用**： - **利用圆或球的边界进行碰撞检测**：在游戏开发中，使用圆或球进行碰撞检测是一种较为快速的方法。 - **碰撞检测条件**：两圆之间，如果两圆心的距离小于两圆的半径之和，则发生碰撞。 - **简化计算**：由于开方运算会占用大量的处理器资源，通常建议使用平方来进行比较。 #### 三、三角函数 **1. 角度与弧度**： - **角度与弧度的转换**：角度转换成弧度公式：\( \text{弧度} = \text{角度} \times \frac{\pi}{180^\circ} \)。 - **角度与方向**：每个角都由相交于一点的两条射线组成，始边沿着x轴正方向。正角沿逆时针方向旋转，负角沿顺时针方向旋转。 - **三角函数输入**：在C++中，所有的三角函数如sin()、cos()、tan()等都是以弧度值作为输入的。在处理角度时，可以使用宏定义完成角度与弧度之间的转换。 这些基础知识是游戏编程中不可或缺的一部分，掌握它们能够帮助开发者更好地理解和应用各种数学原理和技术，在游戏开发中实现更加复杂的逻辑和效果。