计算方法实验（高斯消除法，三角分解法，最小二乘法，等等）

在计算机科学和工程领域，计算方法是解决复杂数学问题的重要工具，它们涉及一系列数值分析技术。本实验主要探讨了三种经典的计算方法：高斯消除法、三角分解法和最小二乘法。这些方法在解决线性方程组、优化问题以及数据拟合等领域具有广泛应用。 **1. 高斯消除法** 高斯消除法是一种求解线性方程组的有效方法，通过行变换将系数矩阵转化为阶梯形或简化阶梯形矩阵。通过加减乘以某个常数倍的行来改变矩阵的某些元素，使得每一列的第一个非零元素成为该行的唯一非零元素，并且位于主对角线上。接着，对下一行进行同样的操作，直到得到上三角矩阵。然后，通过回代求解未知数，从最底部的方程开始，逐步求得所有未知数的值。 **2. 三角分解法** 三角分解法，也称为LU分解，是将一个矩阵分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积，即A = LU。这个过程可以看作是先进行行变换得到L，再用L对原矩阵进行左乘得到U。一旦得到了L和U，求解线性方程组Ax=b就变为两个步骤：首先求解Ly=b，得到y；然后求解Ux=y，得到x。这种方法在数值稳定性方面优于高斯消除法，尤其适用于需要反复求解同一线性系统的场合。 **3. 最小二乘法** 最小二乘法主要用于拟合数据，它寻找一个函数，使得该函数与实际观测数据点之间的残差平方和最小。在数学上，这相当于求解一个过定线性系统的最小范数解。对于线性问题，可以使用正规方程组的形式来表示最小二乘解，即最小化误差平方和的导数等于零时的解。在非线性问题中，通常需要通过迭代算法，如梯度下降法或牛顿法，来逼近最小二乘解。 除了上述方法，实验可能还包含了其他数值计算技术，例如矩阵运算、插值方法、数值积分和微分方程的数值解法等。报告部分可能详细介绍了每种方法的原理、步骤、适用情况以及在实验中的具体应用。通过这些计算方法的学习和实践，学生能够加深对数值计算的理解，提高解决实际问题的能力。