根据题目提供的信息，本文将对涉及的随机过程的平稳性问题进行详细解析。具体来说，我们将探讨以下几个案例，并分析它们是否构成平稳过程。
### 一、平稳过程的概念
平稳过程是指一个随机过程，如果它的统计特性（如均值、方差、协方差等）不随时间变化，则称其为平稳过程。更精确地说，对于一个随机过程\({X_t}\)，如果它的均值函数\(m(t) = E[X_t]\)和自相关函数\(R_{XX}(t_1, t_2)\)仅依赖于两个时间点之间的相对时间差\(\tau = t_2 - t_1\)，则称\({X_t}\)为宽平稳过程。若进一步地，所有有限维分布都与时间起点无关，则称其为严平稳过程。
### 二、案例分析
#### (1) 随机过程 \(X_t = e^{-t}X\)
这里，\(X\)具有在区间\((-\infty, 0)\)中的均匀分布。我们首先计算该随机过程的均值：
\[E[X_t] = E[e^{-t}X] = e^{-t}E[X]\]
由于\(X\)在\((-\infty, 0)\)上均匀分布，因此\(E[X]\)不存在。即使假设\(E[X]\)存在，\(E[X_t]\)也随时间\(t\)线性减少，这表明均值函数依赖于时间\(t\)本身，而非时间差\(\tau\)，所以该过程不是平稳过程。
#### (2) 随机过程 \(\{X_t\}, -\infty < t < +\infty\)
这个过程在每个时间点\(t\)上取0或1，不同时间点的状态相互独立。给定概率\(0 < p < 1\)，对于任意固定的时间点\(t\)，有：
\[P(X_t = 1) = p, P(X_t = 0) = 1 - p\]
计算均值函数：
\[m_X(t) = E[X_t] = 1 \cdot p + 0 \cdot (1-p) = p\]
该均值是一个常数，不依赖于时间\(t\)。再计算自相关函数：
\[R_{XX}(t, t+\tau) = E[X_t X_{t+\tau}] = p^2\]
自相关函数\(R_{XX}(t, t+\tau)\)只依赖于时间差\(\tau\)，不依赖于特定的时间点\(t\)，因此这是一个宽平稳过程。
#### (3) 随机序列 \(\{Y_n\}, n \geq 1\)
由独立同分布的随机序列\(\{X_j\}, j = 1, 2, \ldots\)定义，其中\(X_j\)的分布为：
\[P(X_j = 1) = P(X_j = -1) = \frac{1}{2}\]
令\(Y_n = \sum_{j=1}^{n} X_j\)，我们先计算均值函数：
\[m_Y(n) = E[Y_n] = \sum_{j=1}^{n} E[X_j] = 0\]
接下来计算自相关函数：
\[R_{YY}(n, m) = E[Y_n Y_m] = \sum_{j=1}^{n} \sum_{k=1}^{m} E[X_j X_k]\]
当\(n = m\)时，
\[R_{YY}(n, n) = \sum_{j=1}^{n} E[X_j^2] = n\]
然而，当\(n \neq m\)时，\(R_{YY}(n, m)\)依赖于\(n\)和\(m\)的具体值，而不是它们之间的相对差值，因此该随机序列不是平稳过程。
#### (4) 随机过程 \(X_t = A\cos(\omega_0 t + \Phi)\)
其中\(\omega_0\)为正常数，\(A\)和\(\Phi\)是相互独立的随机变量，且\(A\)服从在区间\([0, 1]\)上的均匀分布，而\(\Phi\)服从在区间\([0, 2\pi]\)上的均匀分布。
计算均值函数：
\[m_X(t) = E[X_t] = \int_0^1 da \int_0^{2\pi} \frac{1}{2\pi} A\cos(\omega_0 t + \Phi) d\Phi = 0\]
计算自相关函数：
\[R_{XX}(t, t+\tau) = E[X_t X_{t+\tau}] = \frac{1}{2}\cos(\omega_0 \tau)\]
自相关函数仅依赖于时间差\(\tau\)，因此这是一个宽平稳过程。
#### (5) 随机过程 \(X_t = \cos(\omega t)\)
其中\(\omega\)在区间\((\omega_0 - \Delta/2, \omega_0 + \Delta/2)\)内服从均匀分布。
为了判断该过程是否为平稳过程，我们需要计算其均值和自相关函数。首先计算均值函数：
\[m_X(t) = E[\cos(\omega t)]\]
由于\(\omega\)在指定区间内均匀分布，因此均值函数依赖于\(\omega\)的分布，而\(\omega\)的分布与时间\(t\)有关。此外，计算自相关函数：
\[R_{XX}(t, t+\tau) = E[\cos(\omega t)\cos(\omega (t+\tau))]\]
该自相关函数同样依赖于\(\omega\)的分布，而\(\omega\)的分布与时间\(t\)有关。因此，该随机过程不是平稳过程。
案例(2)和案例(4)中的随机过程是宽平稳过程，而案例(1)、案例(3)和案例(5)中的随机过程不是平稳过程。
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