线性代数(同济第五版)习题答案

《线性代数（同济第五版）》作为高等数学教育中的经典教材，其习题集不仅涵盖了基础知识的巩固，还深入探讨了线性代数的各个重要领域，包括行列式、矩阵运算、线性方程组、向量组的线性相关性和相似矩阵及二次型等。本篇文章将针对该书第一章节“行列式”的部分习题进行详细解析，旨在帮助读者深入理解行列式的计算方法、性质以及其在实际问题中的应用。 ### 行列式的基本概念 行列式是线性代数中一个重要的概念，它是由方阵中元素构成的一个特殊数值，可以用来判断线性方程组是否有唯一解，以及在矩阵理论中有着广泛的应用。行列式的值可以通过多种方式计算得出，其中最常见的方法是对角线法则和按行（或列）展开法。 ### 行列式的计算实例 #### 实例1：三阶行列式的计算 例如，在题目给出的第一道习题中，要求利用对角线法则计算四个三阶行列式的值。这里，我们将以第一题为例进行解析： \[ \begin{vmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 1 & -4 & -1 \\ -1 & 8 & 3 \end{vmatrix} = 2\times(-4)\times3 + 0\times(-1)\times(-1) + 1\times1\times8 - 0\times1\times3 - 2\times(-1)\times8 - (-1)\times(-4)\times(-1) \] 简化后得到： \[ = -24 + 0 + 8 + 0 + 16 - 4 = -4 \] 这个过程体现了行列式的计算规则，即按照对角线法则，将主对角线元素乘以其下方右斜方向的元素，再减去主对角线左侧元素乘以其右侧下方元素的总和。 #### 实例2：变量行列式的计算 在第二个习题中，要求计算含有变量的行列式： \[ \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix} = abc + bac + cba - bbb - aaa - ccc = 3abc - a^3 - b^3 - c^3 \] 此题展示了行列式计算的另一种情况，即当行列式中的元素为变量时，同样可以按照行列式的定义进行计算，最终结果可能包含变量的多项式表达式。 ### 排列与逆序数 在第二题中，要求求出特定排列的逆序数。逆序数是指在一个排列中，比其右边位置数字小的数字的总数。例如，对于排列4132，逆序数为4，因为存在四对数字使得左边的数字比右边的数字小（41, 43, 42, 32）。这一概念在行列式的计算中尤为重要，因为它与行列式的符号有关，具体而言，如果一个排列的逆序数是偶数，则该排列的符号为正；如果是奇数，则符号为负。 ### 四阶行列式的分析 在第三题中，要求找出四阶行列式中含有特定因子的项。这涉及到行列式一般项的定义，即对于任何给定的排列\(p_1 p_2 p_3 p_4\)，其对应的行列式项为\((-1)^t a_{1p_1} a_{2p_2} a_{3p_3} a_{4p_4}\)，其中\(t\)是排列\(p_1 p_2 p_3 p_4\)的逆序数。通过确定排列的形式并计算其逆序数，可以找到所有满足条件的项。 ### 行列式的高级计算 第四题提供了几例较复杂的行列式计算，涉及零行或特定模式的矩阵。这些例子展示了如何通过行列式的性质简化计算过程，如利用行列式的线性性质、按行或列展开等策略，来避免复杂的直接计算。 通过以上解析，我们可以看到，《线性代数（同济第五版）》习题集不仅覆盖了基础的行列式计算，还涉及到了更为深入的概念，如排列的逆序数、行列式的性质等，这对于全面掌握线性代数知识具有重要意义。在学习过程中，应当注重理解和掌握这些基本原理和方法，同时，通过大量的习题练习，加深对理论知识的理解和应用能力。