标题中的“一元二次方程根与系数关系”指的是在一元二次方程 \( ax^2 + bx + c = 0 \)（其中 \( a \neq 0 \)）中，根（解）与系数之间的特定关系。这个关系通常被称为韦达定理，它是中学数学中的一个重要知识点。
描述中提到了整式的除法，但主要焦点在于一元二次方程的根与系数的关系。整式除法在解一元二次方程时可能会用到，例如通过因式分解或使用求根公式（也称为韦达公式）。
一元二次方程根与系数的关系，即韦达定理，可以总结如下：
1. 如果一元二次方程 \( ax^2 + bx + c = 0 \) 的两个根是 \( x_1 \) 和 \( x_2 \)，那么：
- \( x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \)
- \( x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} \)
2. 推论1表明，如果 \( p \) 和 \( q \) 是一元二次方程 \( ax^2 + bx + c = 0 \) 的根，那么 \( p + q \) 与 \( p \cdot q \) 可以直接从系数 \( a, b, c \) 计算得出。
3. 推论2指出，如果 \( a \neq 0 \)，任何两个数 \( p \) 和 \( q \) 构成的一元二次方程 \( ax^2 + bx + c = 0 \) 的形式是 \( ax^2 + (p+q)x + pq = 0 \)。
部分内容包含了对这些关系的实例应用，如求解特定方程的根的和与积，以及基于已知根构造新的方程等。
例如，题目给出的方程 \( 2x^2 - x + m = 0 \) 已知有一个根为 -1，根据韦达定理，可以计算另一个根和 \( m \) 的值。同样，对于方程 \( x^2 - 4x + 1 = 0 \)，我们可以直接找到 \( x_1 + x_2 \) 和 \( x_1 \cdot x_2 \) 的值。
练习题涉及到的技巧包括运用韦达定理解决实际问题，如判断一个方程是否以特定数为根，以及根据给定的根构建新的方程。
理解和掌握一元二次方程的根与系数关系，对于解决涉及根的运算、方程构造和解析几何等问题至关重要。它体现了数学中的转化思想，能够帮助我们更有效地分析和解决问题。
