lecture_20.pdf
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【优化连续问题】 在科学计算领域,优化是一个关键的话题,特别是在使用C++进行计算时。优化涉及找到一个或多个变量的值,使某个函数f(x)达到最大或最小。如果变量x是实数且在一定范围内可以连续变化,如a≤x≤b,我们称其为连续优化问题。相反,如果x只能取有限集合或无限序列中的值,那就是离散优化问题。 【线性最小二乘法】 当我们面临连续优化问题时,最常见的任务是线性回归,即拟合一条直线到一组数据点上。这种方法称为线性最小二乘法。它用于寻找最佳拟合直线,使得所有数据点到该直线的距离平方和最小。通过求解线性方程组来确定直线的斜率和截距,这是解决这种问题的标准方法。 【拟合抛物线】 除了直线拟合,我们还可以通过拟合二次曲线(抛物线)来最小化目标函数。这在处理非线性关系时特别有用。通过构建关于参数的二次模型,并求解使得函数值最小的参数值,可以找到全局最小点。 【蒙特卡洛方法】 对于某些复杂的优化问题,我们可以利用蒙特卡洛方法。这是一种随机搜索技术,通过大量随机采样来逼近最优解。虽然它不保证找到全局最小值,但在高维空间和缺乏解析解的情况下,它是一种实用的方法。 【BRENT包】 BRENT算法或包是数值优化中的一个工具,适用于一维无约束优化问题。它结合了多种搜索策略,包括黄金分割比例、二次插值和最速下降法,以寻找局部最小值。BRENT方法因其稳定性和效率而被广泛使用。 【课程安排与项目要求】 在接下来的两周里,课程将转向离散优化问题的讨论。学生需要完成课堂上的实验练习10,并确保在指定日期前提交编程作业8。同时,提醒学生注意项目截止日期,包括5分钟的口头报告、3-5页的研究报告以及C++程序。未按时提交将影响最终成绩。 总结来说,优化连续问题在科学计算中扮演着核心角色,涵盖了从简单的线性最小二乘法到复杂的蒙特卡洛模拟和专门的优化算法如BRENT。学生需要掌握这些工具和技术,以解决实际问题并满足项目要求。在课程的最后阶段,他们将进一步探讨离散优化问题,这是对已学习概念的扩展和深化。
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