gradient_descent.pdf

梯度下降是优化算法的一种，尤其在机器学习和深度学习领域中广泛应用，用于寻找函数最小值。该方法基于微积分中的导数概念，利用函数在某一点处的梯度（导数）信息来决定下一步的移动方向。在给定的资料中，我们详细探讨了如何使用梯度下降法来最小化一个四次函数。 四次函数的例子为f(x) = 2x^4 - 4x^2 + x + 20，这个函数可能代表某种成本，我们需要在-2和2之间找到一个使成本最小化的x值。随机采样或图形绘制可以提供一些线索，但为了自动找到最小值，我们需要依赖函数的公式。如果从区间内的任意一点x开始，我们可以根据导数f'(x)来决定向左还是向右移动一小步。 对于四次函数，其导数为f'(x) = 8x^3 - 8x + 1。若在x=1.5处开始，f'(x)=16.0是正的，这意味着函数在x值较小（向左）的方向上减小。通过绘制函数图像，我们可以直观地验证这一点。 梯度下降法的基本策略是：沿着导数的相反方向迈出一小步，重复此过程直到导数接近于零，这通常意味着我们接近了一个临界点，可能是局部最小值。如果我们在预期的下降方向上迈出一步后，函数反而增加，可能已经越过一个最小值，此时应回退并尝试更小的步长。 梯度下降算法的步骤可以总结如下： 1. 初始化：选择一个起始点x_0，并设定学习率α（步长）。 2. 计算梯度：计算当前点x的导数f'(x)。 3. 更新：根据梯度的方向，更新x的值，即x_{n+1} = x_n - α * f'(x_n)。 4. 检查停止条件：如果满足停止条件（如达到迭代次数、函数值变化极小或导数接近于零），则停止；否则返回步骤2。 在实际应用中，梯度下降有多种变体，包括批量梯度下降（计算所有数据点的平均梯度）、随机梯度下降（仅用一个样本点的梯度）和小批量梯度下降（使用一小部分样本的梯度）。这些变体在处理大规模数据集时能提高效率并减少过拟合的风险。 此外，为了防止在局部最小值陷入停滞，有时会使用启发式策略，例如动量（momentum）、自适应学习率（如Adagrad、RMSprop、Adam等）或二阶方法（如牛顿法和拟牛顿法）。 梯度下降是一种强大的工具，它能帮助我们解决许多优化问题，特别是在机器学习模型的参数调优中。通过理解并有效地应用梯度下降，我们可以找到复杂函数的局部最小值，从而实现模型性能的优化。