cg_lab_search_tet_mesh.pdf

在计算机几何领域，四面体网格（Tetrahedral Mesh）是三维空间中常用的数据结构，用于表示复杂形状和进行数值计算。本实验室的主题聚焦于如何高效地在四面体网格中搜索特定点所在的四面体。这在计算几何、有限元分析、图形学和科学计算中具有广泛应用。 我们有一个计算区域R，包含一组点P。这些点可能完全在区域内，也可能部分在区域外。我们的目标是对每个点pi，找出包含它的四面体Ti。如果一个点位于多个四面体的交界处，只需返回其中一个即可；如果点不在任何四面体内，则可以返回特殊标记如“-1”，或者提供最近的四面体索引。 在之前的学习中，我们已经掌握了判断一个点是否位于四面体内的方法。因此，最直观的搜索策略是对每个四面体进行检查，一旦找到包含目标点的四面体就停止。这种方法平均需要检查大约一半的四面体，即t num/2。 然而，存在一种称为Delaunay搜索的算法，可以在大约3√t num/2次检查后定位四面体，速度远超简单搜索法。对于包含一百万个四面体的网格，Delaunay搜索法可以比直接搜索快大约10,000倍，效率显著提高。 Delaunay搜索法依赖于具有Delaunay性质的四面体网格。这种特性保证了网格在拓扑和几何上的优化，使得搜索过程更为高效。Delaunay性质通常与Voronoi图相关，它确保了在网格中任意点与最近的四面体顶点之间的连线不会穿过其他四面体的面。具体解释和讨论将在另一个实验中进行。 为了实现Delaunay搜索，需要预先对四面体网格进行一定的处理。这可能包括构建辅助数据结构，例如边界表示（Boundary Representation，BRep），或者创建索引和树状结构，如kd树或二叉空间分割树，以加速查询过程。这些预处理步骤虽然增加了前期工作量，但可以极大地提升后续搜索操作的性能。 Delaunay搜索技术对于处理大规模的四面体网格至关重要，尤其在实时计算和大数据应用中。理解并掌握这种高效算法不仅能够优化计算效率，还能为复杂几何问题的解决提供强大工具。在实际应用中，结合合适的预处理和数据结构，可以进一步优化搜索性能，满足高性能计算的需求。