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第六章 排队论模型
排队论起源于 1909 年丹麦电话工程师 A. K．爱尔朗的工作，他对电话通话拥挤问
题进行了研究。1917 年，爱尔朗发表了他的著名的文章—“自动电话交换中的概率理
论的几个问题的解决”。排队论已广泛应用于解决军事、运输、维修、生产、服务、库
存、医疗卫生、教育、水利灌溉之类的排队系统的问题，显示了强大的生命力。
排队是在日常生活中经常遇到的现象，如顾客到商店购买物品、病人到医院看病常
常要排队。此时要求服务的数量超过服务机构（服务台、服务员等）的容量。也就是说，
到达的顾客不能立即得到服务，因而出现了排队现象。这种现象不仅在个人日常生活中
出现，电话局的占线问题，车站、码头等交通枢纽的车船堵塞和疏导，故障机器的停机
待修，水库的存贮调节等都是有形或无形的排队现象。由于顾客到达和服务时间的随机
性。可以说排队现象几乎是不可避免的。
排队论（Queuing Theory）也称随机服务系统理论，就是为解决上述问题而发展
的一门学科。它研究的内容有下列三部分：
（i）性态问题，即研究各种排队系统的概率规律性，主要是研究队长分布、等待
时间分布和忙期分布等，包括了瞬态和稳态两种情形。
（ii）最优化问题，又分静态最优和动态最优，前者指最优设计。后者指现有排队
系统的最优运营。
（iii）排队系统的统计推断，即判断一个给定的排队系统符合于哪种模型，以便
根据排队理论进行分析研究。
这里将介绍排队论的一些基本知识，分析几个常见的排队模型。
§1 基本概念
1.1 排队过程的一般表示
下图是排队论的一般模型。
图 1 排队模型
图中虚线所包含的部分为排队系统。各个顾客从顾客源出发，随机地来到服务机构，按
一定的排队规则等待服务，直到按一定的服务规则接受完服务后离开排队系统。
凡要求服务的对象统称为顾客，为顾客服务的人或物称为服务员，由顾客和服务员
组成服务系统。对于一个服务系统来说，如果服务机构过小，以致不能满足要求服务的
众多顾客的需要，那么就会产生拥挤现象而使服务质量降低。 因此，顾客总希望服务
机构越大越好，但是，如果服务机构过大，人力和物力方面的开支也就相应增加，从而
会造成浪费，因此研究排队模型的目的就是要在顾客需要和服务机构的规模之间进行权
衡决策，使其达到合理的平衡。
1.2 排队系统的组成和特征
一般的排队过程都由输入过程、排队规则、服务过程三部分组成，现分述如下：
1.2.1 输入过程
输入过程是指顾客到来时间的规律性，可能有下列不同情况：
（i）顾客的组成可能是有限的，也可能是无限的。
