第23讲 轨迹问题之直线轨迹.docx
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【知识点详解】 本讲主要探讨的是轨迹问题中的直线轨迹,这是中学数学中的一类重要问题,常见于中考数学培优专题。解决这类问题的关键在于理解点的运动规律和几何关系,下面将通过模型讲解和例题分析来深入阐述这一主题。 **模型讲解** 1. **模型一:轨迹为直线** - 当点P到定直线的距离保持不变时,点P的轨迹为一条直线。例如,点P在与定直线α垂直且距离为d的直线上移动。 **例题讲解** 1. **例题1** - 此题中,点P在线段CD上移动,形成的等边三角形△AEP和△PFB的边AP和PB保持长度不变。点G作为EF的中点,其轨迹是HP的中点,因此G的轨迹是一条直线,即MN的长度。 2. **例题2** - 在等边三角形ABC中,点M在高CH上移动,BN绕B逆时针旋转60°得到HN。当HN与AN垂直时,HN达到最小值,此时HN=AH,其中AH为等边三角形边长的一半。 3. **例题3** - 点P的坐标表示为一个关于变量m的函数,点M在直线y=-x-3上运动。当PM垂直于AB时,PM达到最小值,通过相似三角形的性质可以求得PM的最小值为4。 **巩固训练** 1. **题目1** - 等边三角形ABC中,点P在DE上移动,MP和NP分别平行于AC和AB。点G作为MN和AP的交点,其轨迹与点P的运动有关,可以利用平行线的性质和三角形的相似关系来求解扫过的面积。 2. **题目2** - 正方形ABHK中,点P在线段CD上移动,AMNP和BROP为正方形,点G作为EF的中点,其移动路径与点P的轨迹有关,可以通过正方形的性质和线段比例来确定G的路径长度。 3. **题目3** - 矩形ABCD中,点P沿AB移动,点E在AD上,EF垂直于PE,点M是EF的中点。点M的轨迹长度可以通过分析点P和点E的相对位置变化来计算。 4. **题目4** - 在直角△ABC中,点P从C向B移动,形成等边△APQ,点Q的轨迹长度可以通过分析等腰三角形的性质和点P的运动来确定。 5. **题目5** - 点C的坐标需要满足OC平分四边形OACB的面积,可以通过坐标几何的方法来确定点C的坐标。 6. **题目6** - 动点C随AB的滑动而运动,点C的轨迹长度可以通过圆周运动的特性以及AB在坐标系中的移动来求解。 7. **题目7** - 直角梯形ABCD中,点C的轨迹可能与梯形的倾斜边CD有关,需要分析点A和点B的运动对点C的影响。 通过以上讲解,我们可以看出,解决直线轨迹问题通常需要理解点的运动规律,运用几何性质(如相似、平行、垂直、等边或等腰三角形等),并结合代数方法(如函数关系、坐标几何等)来求解。对于中考数学培优来说,熟悉这些模型和解题策略是非常关键的。
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