第23讲 轨迹问题之直线轨迹.docx

【知识点详解】 本讲主要探讨的是轨迹问题中的直线轨迹，这是中学数学中的一类重要问题，常见于中考数学培优专题。解决这类问题的关键在于理解点的运动规律和几何关系，下面将通过模型讲解和例题分析来深入阐述这一主题。 **模型讲解** 1. **模型一：轨迹为直线** - 当点P到定直线的距离保持不变时，点P的轨迹为一条直线。例如，点P在与定直线α垂直且距离为d的直线上移动。 **例题讲解** 1. **例题1** - 此题中，点P在线段CD上移动，形成的等边三角形△AEP和△PFB的边AP和PB保持长度不变。点G作为EF的中点，其轨迹是HP的中点，因此G的轨迹是一条直线，即MN的长度。 2. **例题2** - 在等边三角形ABC中，点M在高CH上移动，BN绕B逆时针旋转60°得到HN。当HN与AN垂直时，HN达到最小值，此时HN=AH，其中AH为等边三角形边长的一半。 3. **例题3** - 点P的坐标表示为一个关于变量m的函数，点M在直线y=-x-3上运动。当PM垂直于AB时，PM达到最小值，通过相似三角形的性质可以求得PM的最小值为4。 **巩固训练** 1. **题目1** - 等边三角形ABC中，点P在DE上移动，MP和NP分别平行于AC和AB。点G作为MN和AP的交点，其轨迹与点P的运动有关，可以利用平行线的性质和三角形的相似关系来求解扫过的面积。 2. **题目2** - 正方形ABHK中，点P在线段CD上移动，AMNP和BROP为正方形，点G作为EF的中点，其移动路径与点P的轨迹有关，可以通过正方形的性质和线段比例来确定G的路径长度。 3. **题目3** - 矩形ABCD中，点P沿AB移动，点E在AD上，EF垂直于PE，点M是EF的中点。点M的轨迹长度可以通过分析点P和点E的相对位置变化来计算。 4. **题目4** - 在直角△ABC中，点P从C向B移动，形成等边△APQ，点Q的轨迹长度可以通过分析等腰三角形的性质和点P的运动来确定。 5. **题目5** - 点C的坐标需要满足OC平分四边形OACB的面积，可以通过坐标几何的方法来确定点C的坐标。 6. **题目6** - 动点C随AB的滑动而运动，点C的轨迹长度可以通过圆周运动的特性以及AB在坐标系中的移动来求解。 7. **题目7** - 直角梯形ABCD中，点C的轨迹可能与梯形的倾斜边CD有关，需要分析点A和点B的运动对点C的影响。 通过以上讲解，我们可以看出，解决直线轨迹问题通常需要理解点的运动规律，运用几何性质（如相似、平行、垂直、等边或等腰三角形等），并结合代数方法（如函数关系、坐标几何等）来求解。对于中考数学培优来说，熟悉这些模型和解题策略是非常关键的。