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油气勘探方法程序设计课程设计(论文)-最小平方反滤波.docx

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油气勘探方法程序设计课程设计(论文)

设计（论文）题目最小平方反滤波

学院名称地球物理学院

专业名称勘查技术与工程（石油物探）

学生姓名

学生学号

任课教师田仁飞

设计（论文）成绩

教务处制

2015 年 7 月 1 日

最小平方反滤波

一、方法原理

由地震波的传播理论可知，在粘弹性介质中地震波是以地震子波的形式在地下传

播，地面接收到的反射波地震记录是地层反射系数与地震子波的褶积，因此，地层相

当于一个滤波器，是反射系数序列变成了由子波组成的地震记录，降低了地震勘探的

纵向分辨率。反滤波的目的就是要设计一个反滤波器，来对地震记录滤波，消除地层

滤波的作用，提高地震记录的纵向分辨率。

最小平方反滤波的基本思想在于设计一个滤波算子，用它把已知的输入信号转换

为与给定的期望输出信号在最小平方误差的意义下是最佳输出。

1）用最小平方法求反滤波因子

对输入子波 b(t)反滤波后的期望输出为 d(t),实际输出为 y(t)，按最小平方原理，使

二者的误差平方和 Q 为最小时求得的反滤波因子称为最小平方反滤波因子，用它对地

震记录 x(t)进行的反滤波为最小平方反滤波。

设输入离散信号为地震子波 b(n)={b(1),b(2),

…

,b(m)}, 待求的反滤波因子

a(n)={a(0),a(1),a(2), …,a(m)}, a(t)的起始时间为 0，

（

m+1

）

为 a(t)的延续长度，b(n)与 a(n)

的褶积为实际输出 y(n),即

𝑦

（

𝑛

）

𝑎

（

𝑛

）

∗

𝑏

（

𝑛

）

∑

𝑚

𝜏

𝑎

（

𝜏

）

𝑏

（

𝑛

―

𝜏

）

（

）

实际输出与期望输出的误差平方和为

𝑄

𝑚

𝑛

[𝑦

(

𝑛

)

―

𝑑(𝑛)]

∑

𝑚

𝑛

[

∑

𝑚

𝑎

（

）

𝑏

（

𝑛

―

）

―

𝑑(𝑛)]

（

）

要使 Q 为最小，数学上就是求 Q 的极值问题，即求满足

∂𝑄

∂𝑎(𝑙)

(

𝑙

0,1,

…

,𝑚

)

（

）

的滤波因子 a(t)。

即满足方程

∑

𝑚

𝑎

(

)

𝑟

𝑏𝑏

(

𝑙

―

)

𝑟

𝑏𝑑

(

𝑙

)

(

𝑙

0,1,

…

,𝑚

)

（

）

其中

𝑟

𝑏𝑏

(

𝑙

―

)

∑

𝑚

𝑛

𝑏

(

𝑛

―

)

𝑏(𝑛

―

𝑙)

为地震子波的自相关函数，

𝑟

𝑏𝑑

(

𝑙

)

∑

𝑚

𝑛

𝑑(𝑛)𝑏(𝑛

―

𝑙)

,写成矩阵形式

𝑟

𝑏𝑏

(0)

𝑟

𝑏𝑏

(1)

⋮

𝑟

𝑏𝑏

(𝑚)

𝑟

𝑏𝑏

(1)

…

𝑟

𝑏𝑏

(𝑚)

𝑟

𝑏𝑏

(0)

…

𝑟

𝑏𝑏

(𝑚

―

⋮

…

⋮

𝑟

𝑏𝑏

(𝑚

―

…

𝑟

𝑏𝑏

(0)

𝑎

⋮

𝑎

𝑚

𝑎

𝑑𝑏

(

)

𝑎

𝑑𝑏

(

)

⋮

𝑎

𝑑𝑏

(

𝑚

)

（

）

上式系数矩阵称为托布利兹方程。

当期望输出是单位脉冲

𝑡

时，即

𝑑

𝑡

1,𝑡

0,𝑡

≠

（

）

则

𝑟

𝑏𝑑

(

𝑙

)

𝑏

―

𝑙

（

）

由于

b(t)

是地震子波，

b(t)=0

,当

t<0

时，上述矩阵可写成：

𝑟

𝑏𝑏

(0)

𝑟

𝑏𝑏

(1)

⋮

𝑟

𝑏𝑏

(𝑚)

𝑟

𝑏𝑏

(1)

…

𝑟

𝑏𝑏

(𝑚)

𝑟

𝑏𝑏

(0)

…

𝑟

𝑏𝑏

(𝑚

―

⋮

…

⋮

𝑟

𝑏𝑏

(𝑚

―

…

𝑟

𝑏𝑏

(0)

𝑎

⋮

𝑎

𝑚

𝑏

⋮

（

）

用地震记录自相关系数

𝑟

𝑥𝑥

(

𝜏

)

代替

𝑦

𝑏𝑏

(

𝜏

)

2）已知地震记录

(

)

x(t)=b(t)* ζ(t)

（9）

其中

x(t)

为地震记录，

ζ(t)

是反射系数。根据自相关函数的性质，可证明：地震记

录自相关

𝑟

𝑥𝑥

(𝑛)

是地震子波自相关

𝑟

𝑏𝑏

(𝑛)

和反射系数自相关

𝑟

𝜁𝜁

(𝑛)

的褶积,即：

𝑟

𝑥𝑥

(

𝑛

)

𝑟

𝑏𝑏

(

𝑛

)

∗

𝑟

𝜁𝜁

(

𝑛

)

（

）

假定反射系数是随机白噪音，则

𝑟

𝜁𝜁

(

𝑛

)

𝑁

,𝑛

0,𝑛

≠

（

）

故可得：

𝑟

𝑥𝑥

(

𝑛

)

∑

∞

𝑡

𝑟

𝑏𝑏

(

𝑡

)

𝑟

𝜁𝜁

(𝑛

―

𝑡)

𝑁

𝑟

𝑏𝑏

(

𝑛

)

（

）

故得到

𝑟

𝑥𝑥

(1)

…

𝑟

𝑥𝑥

(𝑚)

𝑟

𝑥𝑥

(0)

…

𝑟

𝑥𝑥

(𝑚

―

⋮

…

⋮

𝑟

𝑥𝑥

(𝑚

―

…

𝑟

𝑥𝑥

(0)

𝑎

⋮

𝑎

𝑚

⋮

（

）

其中

𝑎

𝑖

𝑁

𝑏

𝑎

𝑖

（

）

解出方程，即可求得反滤波因子

a(t)

。

二、方法步骤

在地震记录上选取自相关段，要选择在波形单一，能量强的地方。自相关段的长

度应大于或等于子波的长度；

求选取段的自相关函数：

𝑟

𝑥𝑥

(

𝑛

)

∑

𝑚

―

𝑛

𝑡

𝑥

𝑡

𝑥

𝑡

𝑛

0,1,2,

⋯,

𝑀

―

（

）

其中

为自相关长度；

把

𝑟

𝑥𝑥

(

𝑛

)

代入式中求解

，并由式得反滤波因子

a(t)

，式中，通常取

；

将地震记录

x(t)

与反滤波因子

a(t)

褶积，完成反滤波；

𝑦

(

𝑡

)

∑

𝑚

―

𝜏

𝑎

𝜏

𝑥

𝑡

―

𝜏

, 𝑡

𝑚,𝑚

…

,𝐿

（

）

其中

为反滤波因子长度，

为地震记录长度。

三、源程序

1）雷克子波模型源程序

#include "stdio.h"

#include "math.h"

#include "stdlib.h"

#include "malloc.h"

#include "string.h"

#define PI 3.1415926

#define fm 25 //主频

#define dt 0.001 //采样间隔

#define dz 10 //深度采样间隔

#define N 100 //反射系数序列长度

#define Nw 100 //子波长度

#define P 199 //合成地震记录长度

//=========建立速度模型===========//

void velocity(float v[],int n)

{

int i,z;

float h=1000;

for(i=0;i<n;i++)

{

z=i*dz;

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