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矩阵变换：沿任意轴旋转及其推导 矩阵变换是计算机图形学和机器学习中常用的技术，用于描述二维或三维空间中的旋转变换。在本文中，我们将详细介绍沿任意轴旋转的矩阵变换及其推导。 一、2D 中绕原点旋转 在二维空间中，绕原点旋转可以用矩阵变换来描述。设基向量p、q分别是朝向+x、+y方向的单位向量，旋转角度为θ，基向量p、q绕原点旋转，得到新的基向量p`和q`。旋转矩阵R(θ)可以用以下公式表示： R(θ) = | cos(θ) -sin(θ) | | sin(θ) cos(θ) | 二、3D 中绕坐标轴旋转 在三维空间中，绕坐标轴旋转可以用矩阵变换来描述。设基向量p、q、r分别是朝向+x、+y、+z方向的单位向量。 1. 绕x轴旋转，基向量q和r旋转θ，得到新的基向量q`和r`。旋转矩阵Rx(θ)可以用以下公式表示： Rx(θ) = | 1 0 0 | | 0 cos(θ) -sin(θ) | | 0 sin(θ) cos(θ) | 2. 绕y轴旋转，基向量p和r旋转θ，得到新的基向量p`和r`。旋转矩阵Ry(θ)可以用以下公式表示： Ry(θ) = | cos(θ) 0 sin(θ) | | 0 1 0 | |-sin(θ) 0 cos(θ) | 3. 绕z轴旋转，基向量p和q旋转θ，得到新的基向量p`和q`。旋转矩阵Rz(θ)可以用以下公式表示： Rz(θ) = | cos(θ) -sin(θ) 0 | | sin(θ) cos(θ) 0 | | 0 0 1 | 三、绕任意轴旋转 在三维空间中，绕任意轴旋转可以用矩阵变换来描述。设单位向量n表示任意轴，绕n旋转θ角度的矩阵表示为R(n,θ)。我们可以用以下步骤来计算绕任意轴旋转后的向量v`： 1. 将v分解为平行于n的分向量v||和垂直于n的分向量v⊥。 2. 根据向量投影公式，计算v||和v⊥。 3. 根据v⊥，计算w是v⊥与n叉剩的结果。 4. 根据w，计算v`⊥。 5. 最后算出v`。 通过以上步骤，我们可以计算出绕任意轴旋转后的向量v`，并构造矩阵R(n,θ)。这可以应用于计算机图形学和机器学习等领域。 矩阵变换是描述空间旋转变换的一种数学工具。通过了解矩阵变换的原理和推导，我们可以更好地应用于计算机图形学和机器学习等领域。