《有限元程序设计详解》
有限元方法是一种广泛应用于工程计算中的数值分析技术,它将复杂的物理问题转化为离散的数学模型,通过求解这些离散化问题来近似整个问题的解。本文将深入探讨一个有限元程序设计的具体实现,主要涉及四个子程序:MODPS、BMATPS、DBE和GUASS。
1. MODPS子程序
MODPS子程序的核心任务是生成弹性矩阵[D]。在平面应力问题中,[D]矩阵的表达式如公式(4-56)所示。如果处理平面应变问题,弹性模量和泊松比需作相应调整。该子程序是有限元程序的基础,因为它直接与材料的力学性能相关,决定了结构的响应。
2. BMATPS子程序
BMATPS子程序用于计算应变矩阵[B]。根据公式(4-57),[B]矩阵反映了单元内部应变与节点位移的关系。此子程序处理单元几何信息,如节点坐标、单元类型等,生成用于进一步计算的[B]矩阵。
3. DBE子程序
DBE子程序将弹性矩阵[D]和应变矩阵[B]组合成应力矩阵[S],依据公式(4-58)进行运算。这个过程是有限元求解的关键步骤,因为应力矩阵[S]连接了单元内部的应力状态与节点位移。
4. GUASS子程序
GUASS子程序负责处理边界条件和解线性方程组。它首先进行支座处理,即对约束位移对应的刚度矩阵元素进行修改,然后应用高斯消元法求解位移。解出的位移存储在ALOAD数组中,并最终输出。
程序设计中涉及的数据结构和数组包括:
- COORD:存储节点坐标。
- LNODE:记录单元与节点的关联关系。
- ALOAD:存储荷载和解出的位移。
- ESTIF:单元刚度矩阵。
- ASTIF:总刚度矩阵,以带状形式存储。
- DBMAT:应力矩阵[S]。
- DMATX:弹性矩阵[D]。
- BMATX:应变矩阵[B]。
- STRES:单元应力矩阵。
- JJS:受载节点矩阵。
- ZX、ZY:指定方向的载荷向量。
- DISP:单元节点位移矩阵。
- LZERO:约束位移矩阵。
变量如NPOIT、NELEM、NNODE、NLOAD、NZERO等用于定义最大节点数、单元数、单元节点数等参数,而YOUNG和POISS则表示弹性模量和泊松比,这些是材料属性的重要参数。
整个程序流程始于输入数据,包括节点坐标、单元信息、荷载和约束条件。接着,计算半带宽NHBW,这是存储总刚度矩阵时的宽度。之后,初始化数组,对单元进行循环处理,计算各矩阵,并处理边界条件,最终求解位移并输出结果。
该有限元程序设计涵盖了从物理问题建模到数值解法的全过程,体现了有限元方法的核心思想。通过理解并实现这样的程序,工程师可以更好地理解和应用有限元方法解决实际工程问题。