33计数综合(二)[参照].pdf

在解决计数问题时，对应法是一种非常有效的策略。这种方法涉及到建立两个或多个对象集合之间的关系，通过计算其中一个集合的元素数量来确定另一个集合的元素数量。以下是一些基于对应法的计数问题实例及其解决方案。 1. 10个无差别的橘子放入3个不同的盘子中，允许盘子为空。总共有多少种不同的放法？这个问题可以通过在橘子之间插入“木棍”来划分橘子来解决。初始情况下，10个橘子有9个间隙，需要插入2个木棍来分成3部分。考虑允许盘子为空的情况，可以先“借来”3个橘子，使得每个盘子至少有1个橘子。现在总共有13个橘子，需要在12个间隙中插入2个木棍，方法数为C(12,2) = 66种。 2. 小明有10块奶糖，每天至少吃一块，有多少种不同的吃法？同样地，我们可以使用“木棍”来代表分割。10块糖有9个间隙，插入木棍来决定哪天吃多少糖。每个间隙可以选择插入或不插入木棍，因此总共有2^9 = 512种不同的吃法。 3. “上升的”自然数是指每个数字小于其右边的所有数字的数。例如，236就是一个“上升的”数。要找出所有这样的数，首先从0到9的数字中选择，但首位不能为0，所以实际是从9个数字中选择。每个数字可以选择出现或不出现在数中，所以总共有2^9 = 512种选择方式。但由于“上升的”数至少是2位的，排除只选一个数字的情况（10种），所以总共有512 - 10 = 502种“上升的”自然数。 4. 在8x8的方格表中，取3个方格组成“L”形，可以如何计数？这里采用的是对应原则，每个“L”形都有一个特定的交叉点M与之对应。8x8的方格中，除去边上的交叉点，有7x7 = 49个中心点。每个2x2的正方形有4个不同的“L”形，所以总共有4 * 49 = 196种不同的“L”形。 5. 要找出10到4999之间的数字，其数字和能被4整除的数有多少个。这是一个数字和模运算的问题。对于三位数，可以发现每四个连续的三位数中，只有一个数的数字和是4的倍数。因此，在1000到4999之间有1000/4 = 1000个符合条件的数。对于两位数，每四个数中也有一个符合条件。所以在999到600之间有100个，599到200之间也是100个。对于10到199，我们可以分别分析100到199，60到99，20到59，以及10到19，找出每组中数字和能被4整除的数，这样就可以得到总数。 以上五个问题展示了如何运用对应法和组合计数原则解决不同类型的计数问题。这些方法不仅可以应用于数学竞赛，还在编程、数据结构和算法等领域有着广泛的应用。通过理解和熟练掌握这些技巧，可以更有效地解决复杂的计数问题。