算符优先文法是一种在编译原理中用于解析表达式的一种方法，它通过定义每个非终结符和运算符的优先关系来决定解析的顺序。在这个过程中，我们首先需要理解几个关键概念：非终结符、终结符、FIRSTVT集、LASTVT集以及算符优先矩阵。
非终结符是非终端符号，它们代表语言的语法结构部分；终结符则是文法中的基本符号，如运算符和标识符。在给出的文法G中，E、T、F和P是非终结符，而id、(、)、+、-、*、/和↑是终结符。
我们来看FIRSTVT集和LASTVT集的计算。这两个集合分别表示在文法中，非终结符可能产生的第一个和最后一个终结符。例如，FIRSTVT(P)包含了P可能开始的所有终结符，即'('和'id'。LASTVT集则表示非终结符可能以哪些终结符结束。通过文法规则的分析，我们可以得到所有非终结符的FIRSTVT和LASTVT集，这有助于解析过程的进行。
接下来是算符优先矩阵。这是一个用于指导解析的重要工具，它定义了文法中各个运算符的优先级。在这个例子中，矩阵列出了运算符的相对优先级，例如'+'和'-'的优先级低于'*'和'/'，而'↑'的优先级最高。这种矩阵可以直观地展示哪些运算符应该先进行操作。
我们看到的是句子"id+id*id"的分析过程。这个过程通过移进（输入终结符到栈中）和归约（将栈顶的符合规则的符号组合替换为非终结符）来逐步构造出一个合法的语法树。在这个例子中，从初始状态开始，逐步将输入的字符压入栈中，然后根据算符优先文法的规则进行归约，最终形成E的产生式，表示整个表达式的合法性，并以接受状态结束。
通过以上步骤，我们能够理解算符优先文法如何处理和解析一个包含各种运算符和标识符的表达式。这种文法对于实现解释器或编译器的解析阶段非常有用，特别是对于数学和编程语言中的表达式解析。在实际应用中，算符优先文法通常与LR分析法、LL分析法等其他解析技术结合使用，以处理更复杂的语法结构。
