计算方法第三章函数逼近与快速傅里叶变换.ppt

"计算方法第三章函数逼近与快速傅里叶变换" 本章节主要讨论函数逼近和快速傅里叶变换的相关概念和方法。函数逼近是指在某个区间上用简单函数逼近已知复杂函数的问题，这是在数值计算中经常要解决的问题。 一、函数逼近的基本概念 函数逼近是指对函数类 A 中给定的函数 f(x) ，要求在另一类简单的便于计算的函数类 B 中求函数 p(x)∈B ，使 p(x) 与 f(x) 的误差在某种度量意义下最小。函数类 A 通常是区间 [a, b] 上的连续函数，记作 C[a, b] ；而函数 B 通常为 n 次多项式、有理函数或分段低次多项式等。 二、空间定义 在数学上，空间是指在某个集合中引入某些不同的确定关系的集合。例如，所有定义在 [a,b] 集合上的连续函数全体，按函数的加法和数乘构成数域 R 上的连续函数线性空间，记作 C[a, b] ；所有实 n 维向量集合，按向量的加法和数乘构成实数域 R 上的线性空间，记作 Rn ；对次数不超过 n 的实系数多项式全体，按多项式加法和数乘构成数域 R 上的多项式线性空间，记作 Hn。 三、线性无关 线性无关是指在某个线性空间 S 中，元素 x1,x2,…,xn 满足：如果存在不全为零的数 a1,a2,…,an，使得 a1x1+a2x2+…+anxn=0， 则称 x1,x2,…,xn 线性相关，否则称 x1,x2,…,xn 线性无关。 四、多项式空间 多项式空间 Hn 是指次数不超过 n 的实系数多项式集合， 其元素 p(x)∈Hn 表示为它由 n+1 个系数 (a0, a1,…,an) 唯一确定。1,x,…,xn 是 Hn 的一组基，故集合 Hn=span{1, x,…,xn}，且 (a0, a1,…,an) 是 p(x) 的坐标向量，Hn 是 n+1 维的。 五、魏尔斯特拉斯定理 魏尔斯特拉斯定理是指对任何连续函数 f(x)∈C[a, b]，它不能用有限个线性无关的函数表示，但是它的任一元素 f(x)∈C[a, b] 均可用有限维的 p(x)∈Hn 逼近，使误差小于任意给定的正数 ε。 六、伯恩斯坦多项式 伯恩斯坦多项式是指一种特殊的多项式，它可以用来逼近连续函数。伯恩斯坦多项式给出一种构造性证明：对任何 ε>0，总存在一个代数多项式 p(x)，使得在 [a, b] 上一致成立。