算法设计与分析：Lec11.pdf

在本讲义中，我们所探讨的主题是近似算法的设计与分析，主要围绕近似算法的基本概念、关键思想以及如何处理难题来进行展开。近似算法通常被用于解决那些被认为是NP难的问题，这些问题在最坏情况下可能不存在多项式时间内的精确算法。以下将详细介绍各个知识点。 介绍近似算法是通过构造可行解，并且与最优解（OPT）的下界进行比较而不是直接与最优解比较，来设计算法的核心思想。对于如何找到OPT的下界，介绍了组合技术、基于线性规划（LP）的技术（包括LP松弛、对偶理论等）作为常见的方法。以集合覆盖问题（Set Cover）为例，详细阐述了四种不同的技术：贪心算法、基于LP的舍入、对偶LP舍入以及原始对偶方法。除此之外，还介绍了一些其他技巧，例如背包问题（Knapsack）的缩放技术，k中心问题（k-Center）、旅行商问题（TSP）、不相交路径问题（Disjoint Paths）的剪枝技术等。 接着，本讲义提出了如何处理难题的问题。在许多重要的应用场景中，我们遇到的大多数自然优化问题都是NP难的，普遍认为不存在多项式时间内的精确算法。这引出了我们在质量和时间上进行权衡的讨论。我们有几个选项可以考虑： 1. 放弃最坏情况下的多项式时间限制，即我们设计的算法虽然在最坏情况下需要指数时间，但希望算法能在实际问题实例上运行得足够快。例如，分支定界算法（branch-and-bound）、分支切割算法（branch-and-cut）、分支定价算法（branch-and-pricing）等被用来解决带有24978个瑞典城市的TSP实例。 2. 放弃最优解的限制，从最优解转向近似最优解。例如，近似算法（具有理论保证）、启发式算法、局部搜索等方法，它们可以在没有理论保证的情况下快速找到近似解。 算法设计过程强调了解问题结构的重要性，并利用算法技术来探索问题结构。近似算法设计的过程与精确算法设计的过程非常相似，都需要理解问题本质并发掘有效的算法技术。 本讲义涵盖了近似算法设计与分析的基础知识，不仅讨论了近似算法的基本思想和方法，还对如何处理NP难问题提供了实际的算法选择和权衡策略。通过这些内容的学习，可以为解决实际中遇到的复杂优化问题提供理论基础和实践指导。