线性规划是运筹学中的一个基础概念，用于在满足一系列线性约束条件下，寻找一个线性目标函数的最大值或最小值。这个方法的历史可以追溯到Euler、Liebnitz和Lagrange等数学家的工作，但现代线性规划的理论和算法是在20世纪40年代由George Dantzig、Non Neumann和Leonid Kantorovich等人发展起来的。Dantzig在1947年提出了单纯形法，这是解决线性规划问题的一种重要算法。随后，L. Khachain在1979年和Narendra Karmarkan在1984年分别提出了椭球内点法和投影内点法，这些方法对于解决大规模线性规划问题更有效，尤其是处理退化问题。
线性规划问题通常表现为以下一般形式：求最小化或最大化一个线性函数，同时满足一组线性等式和不等式约束。将其转化为标准形，意味着目标函数需为最小化，所有约束都转换为等式形式，且所有变量都是非负的。通过引入松弛变量和盈余变量，非等式约束可以转换为等式。
标准形的线性规划问题具有以下特征：
1. 目标函数是要求最小化的线性组合。
2. 约束条件由一组线性等式和非负变量的限制组成。
3. 变量分为基变量和非基变量，其中基变量对应于基本解的非零元素。
基本可行解是满足所有线性等式约束和非负变量限制的解，它由矩阵A的线性无关列对应的变量构成。如果线性规划问题有解，那么一定存在一个基本可行解。线性规划的基本定理指出，如果存在可行解，那么一定存在一个基本可行解是该问题的最优解。此外，线性规划问题的可行域在二维空间中是一个多边形，在高维空间中是多面体，其极点（边界上的点）与基本可行解等价。
单纯形法是解决线性规划的标准方法，它通过迭代过程在可行域的顶点之间移动，寻找目标函数值最优的解。这个过程包括以下步骤：
1. 选择一个初始的基本可行解，通常通过将某些变量设为零来实现。
2. 检查当前解是否最优，如果不是，则选择一个能改善目标函数的邻接基本可行解。
3. 持续迭代，直到找到最优解。
在实际应用中，线性规划广泛应用于资源分配、生产计划、运输问题等领域。例如，运输问题要求在满足产地和销地需求的情况下，以最低成本分配货物，这可以通过线性规划模型和单纯形法来解决。通过理解和运用线性规划及其算法，决策者可以制定更有效的策略，以优化资源利用并降低成本。
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