线性规划是一种优化技术，主要用于在满足一组线性约束条件下最大化或最小化一个线性目标函数。这个领域的发展可以追溯到Euler、Liebnitz和Lagrange等数学家的工作，但其现代形式是由George Dantzig、Non Neumann和Leonid Kantorovich在20世纪40年代建立的。Dantzig在1947年提出了单纯形法，这是求解线性规划问题的一种常用方法。后来，L. Khachain在1979年提出了椭球内点法，Narendra Karmarkan在1984年则发现了投影内点法，这些方法都是对单纯形法的有效补充，特别是对于大规模和退化问题。
线性规划问题通常表现为极小化或最大化一个线性函数，同时满足一组线性等式或不等式的约束。将问题转化为标准形是解决线性规划的关键步骤，这要求目标函数为最小化，所有约束为等式，且所有变量非负。松弛变量或盈余变量用于处理不等式约束，使得它们可以转化为等式。
标准形线性规划的一个显著特点是，它总是存在非负的基本解。基本解是指通过置某些变量为零得到的解，这些非零变量对应于矩阵A的线性无关列组成的基B。如果这些非零变量同时满足约束条件并且非负，那么就得到了一个基本可行解。线性规划的基本定理表明，如果问题有可行解，那么一定存在一个基本可行解，并且最优解也在基本可行解中。此外，该定理还指出，如果可行域非空且有界，那么必定存在最优解。
线性规划问题的几何表示通常是一个多面体，称为可行域。在这个多面体的顶点上，可以找到基本可行解。如果多面体为空或者无界，那么问题可能无解或无界解。例如，如果可行域是一条直线，那么最优解可能在整条线上；如果是一个点，那么存在唯一最优解；如果是多边形的顶点，最优解就是其中一个顶点。
单纯形法是求解线性规划的常用算法，它通过迭代从一个基本可行解转移到另一个，每次移动都使目标函数值有所改善，直到达到最优解。该方法首先需要找到一个初始的基本可行解，通常通过选取系数矩阵的一部分列向量作为初始基来实现。然后，通过比较不同基变量的入基和出基策略，选择能够提高目标函数值的替代方案进行迭代，直至达到最优状态。
线性规划是运筹学的重要组成部分，广泛应用于资源分配、生产计划、运输问题等领域。通过有效的算法如单纯形法，我们可以找到满足特定条件下的最佳决策，从而优化资源配置和提高效率。
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