主成分分析法（PCA）及MATLAB实现

主成分分析法（PCA）及 MATLAB 实现 主成分分析法（PCA）是一种常用的降维技术，旨在将高维数据降低到低维空间中，同时保留原始数据的主要信息。PCA 广泛应用于数据挖掘、机器学习、计算机视觉等领域。 主成分分析概念 主成分分析算法（PCA）是最常用的线性降维方法，它的目标是通过某种线性投影，将高维的数据映射到低维的空间中，并期望在所投影的维度上数据的信息量最大（方差最大），以此使用较少的数据维度，同时保留住较多的原数据点的特性。一般来说，当研究的问题涉及到多变量且变量之间存在很强的相关性时，我们可考虑使用主成分分析的方法来对数据进行简化。 降维的优点 降维具有的优点包括： * 使得数据集更易使用 * 降低算法的计算开销 * 去除噪声 * 使得结果容易理解 主成分分析法步骤 主成分分析法的步骤包括： 1. 对所有特征进行中心化：去均值 2. 求协方差矩阵 C 3. 求协方差矩阵 C 的特征值和相对应的特征向量 4. 将原始特征投影到选取的特征向量上，得到降维后的新 K 维特征 MATLAB 实现 在 MATLAB 中，我们可以使用以下代码来实现主成分分析： ```matlab clear; clc load data1.mat [n, p] = size(x); % n 是样本个数，p 是指标个数 R = corrcoef(x); disp('样本相关系数矩阵为：') disp(R) [V, D] = eig(R); % V 特征向量矩阵 D 特征值构成的对角矩阵 lambda = diag(D); % diag 函数用于得到一个矩阵的主对角线元素值 lambda = lambda(end:-1:1); % 因为 lambda 向量是从小大到排序的，我们将其调个头 contribution_rate = lambda / sum(lambda); % 计算贡献率 cum_contribution_rate = cumsum(lambda)/ sum(lambda); % 计算累计贡献率 disp('特征值为：') disp(lambda') disp('贡献率为：') disp(contribution_rate') disp('累计贡献率为：') disp(cum_contribution_rate') disp('与特征值对应的特征向量矩阵为：') ``` 在上面的代码中，我们首先加载了数据集，然后计算了样本相关系数矩阵 R。接着，我们使用 eig 函数计算了协方差矩阵 R 的特征值和特征向量。我们计算了主成分贡献率和累计贡献率，并将结果展示出来。 结论 主成分分析法是一种强大的降维技术，能够帮助我们简化高维数据，并保留原始数据的主要信息。在 MATLAB 中，我们可以使用 eig 函数来实现主成分分析，并计算主成分贡献率和累计贡献率。