高数第一章极限.pdf

在高等数学中，第一章主要介绍函数与极限的概念，这是高等数学乃至整个数学分析领域的基础。本章内容涵盖映射与函数的基本概念、数列与函数的极限、无穷小与无穷大的概念，以及极限运算法则等。此外，还包括隐函数和由参数方程确定的函数的导数、极限存在准则、两个重要极限、无穷小的比较，以及函数的连续性与间断点等问题。本章还探讨了连续函数的运算性质，以及初等函数连续性的相关问题。在此基础上，讨论了闭区间上连续函数的性质，为后续学习打下坚实的基础。 映射是数学中的一个基本概念，它指的是一个数集到另一个数集的规则或对应关系。映射的表示法多种多样，包括表格法、图形法、解析法等。在高等数学的学习中，函数是映射的一种特殊形式，它指的是从实数集合到实数集合的特殊映射。函数的概念包括定义域、因变量（函数值）、对应法则等要素。函数的表示法同样多样化，包括解析法（用数学表达式表示函数关系）、表格法（用表格形式列出函数值）、图形法（函数关系用图形表示）等。 函数的有界性、单调性、奇偶性、周期性等特性的理解对后续的深入学习至关重要。有界性指的是函数在某定义域内是否被某个区间所限定。单调性涉及函数值随自变量增减的变化趋势。奇偶性描述了函数在对称变换下的对称性质，而周期性则说明函数值是否在一定间隔后重复出现。 极限是数学分析中的核心概念，包含数列极限和函数极限。极限描述了函数或数列在无限逼近某一值时的行为和趋势。极限的运算法则指导我们如何处理和简化极限的计算。在求极限的过程中，理解无穷小量的概念以及无穷小量之间的比较对正确求解极限问题至关重要。此外，极限存在准则能够帮助我们判断极限是否存在的条件，两个重要极限——夹逼准则和单调有界准则——是求解复杂极限问题的重要工具。 函数的连续性和间断点的讨论为研究函数的局部性质提供了基础。函数连续性的直观理解是函数图形没有断点，即在函数的定义域内任意一点附近函数值都能无限接近于该点的函数值。函数的连续性对于理解微积分中的许多概念都是必要的。 在高等数学中，极限的概念是导数与积分的基础，而导数与积分又是解决实际问题的关键工具。导数描述了函数在某一点处的瞬时变化率，而积分则是累积过程的数学描述。在考研数学中，对于极限、导数、积分等概念的深入理解和熟练运用是取得高分的重要保证。因此，考研数学中的高等数学第一章对于考生来说是至关重要的基础部分。考研数学的复习计划一般会将这一部分作为基础阶段的重点内容，并结合教材、视频课程和历年真题进行深入学习和练习。