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第一章_函数极限与连续练习题.pdf
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第一章_函数极限与连续练习题.pdf
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一、选择题
1、
0
lim[ ( ) ( )]
xx
fx gx
→
+
存在,
0
lim[ ( ) ( )]
xx
fx gx
→
−
不存在,则正确的是( )
(A)
0
lim ( )
xx
fx
→
不一定存在 (B)
0
lim ( )
xx
gx
→
不一定存在
(C)
0
22
lim[ ( ) ( )]
xx
fx gx
→
−
必不存在 (D)
0
lim ( )
xx
fx
→
不存在
2、设
,
nn
xay≤≤
且
lim( ) 0,
nn
n
yx
→∞
−=
则
{ } { }
,
nn
xy
( )
(A) 都收敛于
a
(B) 都收敛,但不一定收敛于
a
(C) 可能收敛,也可能发散 (D) 都发散
3、下列各式中正确的是( )
(A)
0
1
lim(1 ) 1
x
x
x
+
→
+=
(B)
0
1
lim(1 )
x
x
e
x
+
→
+=
(C)
1
lim(1 )
x
x
e
x
→∞
−=−
(D)
1
lim(1 )
x
x
e
x
−
→∞
+=
4、设
(), ()fx gx
在
0x =
的某去心领域内有定义,并且当
0x →
时
(), ()fx gx
都与
x
为同
阶无穷小,则当
0x →
时( )
(A)
() ()fx gx−
必是
x
的同阶无穷小
(B)
() ()fx gx−
必是
x
的高阶无穷小
(C)
(())fgx
必是
x
的同阶无穷小
(D)
(())fgx
必是
x
的高阶无穷小
5、在
0x
+
→
时,下列无穷小量中与
x
等价的是( )
(A)
1
x
e−
(B)
1
ln
1
x
x
−
−
(C)
11x+−
(D)
1cos x−
6、当
0x →
时,
2
(1 ) 1
x
eBxCx Ax++ −−
是比
3
x
高阶无穷小,则( )
(A)
21
1, ,
36
AB C==− =
(B)
121
,,
336
AB C==−=
(C)
21
1, ,
36
AB C== =
(D)
12 1
,,
33 6
ABC== =−
7、设
4
ln(1 sin )
,0
( ) sin cos cos 2 , ( )
0 , 0
x
x
fx x x x xgx
x
x
⎧
+
≠
⎪
=− =
⎨
⎪
=
⎩
则
0x →
时:
()fx
是
()gx
的( )
(A)高阶无穷小量 (B)低阶无穷小量
(C)同阶非等价无穷小量 (D)等价无穷小量
8、设
()fx
满足
2
0
()
lim 1
x
fx
x
→
=−
,当
0x →
时,
2
ln cos x
是比
()
n
xfx
高阶的无穷小量,而
()
n
xfx
是比
2
sin
1
x
e −
高阶的无穷小,则正整数
n
等于( )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
9、设
0 ab<<
,则
1
lim( )
nn
n
n
ab
−−
→∞
+=
( )
(A)
a
(B)
1
a
−
(C)
b
(D)
1
b
−
10、已知
2
lim 0
1
x
x
ax b
x
→∞
⎛⎞
−−=
⎜⎟
+
⎝⎠
,其中
,ab
是常数,则( )
(A)
1, 1ab==
(B)
1, 1ab=− =
(C)
1, 1ab==−
(D)
1, 1ab=− =−
11、设
2
() ()
x
a
x
Fx ftdt
xa
=
−
∫
,其中
()fx
为连续函数,则
lim ( )
xa
Fx
→
=
( )
(A)
2
a
(B)
2
()afa
(C) 0 (D) 不存在
12、 设
x
1
() () ,gx fudu
−
=
∫
其中
()fx
2
1
,1 0
1cos
,0 2
x
x
x
xe x
−
⎧
−≤ <
⎪
+
=
⎨
⎪
≤≤
⎩
则
g( )x
在
(-1,2)
内( )
(A)无界 (B)递减 (C)不连续 (D)连续
13、设函数
()fx
在区间
[1,1]−
上连续,则
0x =
是函数
2
2
0
2
()
()
x
fx t
gx
x
−
=
∫
的( )
(A) 可去间断点 (B) 跳跃间断点 (C) 无穷间断点 (D) 振荡间断点
14、设
2
0
() ln(1 2)
lim 4,
x
xf x x
x
→
+−
=
则
0
() 2
lim
x
fx
x
→
−
=
( )
(A) 2 (B) 4 (C) 6 (D)8
15、“
()fx
在点
a
连续”是
()fx
在点
a
处连续的( )条件
(A) 必要非充分 (B) 充分非必要 (C) 充要 (D)既非充分又非必要
16、
3
ln(1 ) 1
sin , 0
()
1cos , 0
x
x
fx
xx
xx
⎧
−
⋅<
⎪
=
⎨
⎪
−≥
⎩
则
()fx
在
0x =
处( )
(A) 极限不存在 (B) 极限存在,但不连续 (C) 连续但不可导 (D)可导
17、函数
2
sin
( ) lim
1(2)
n
n
x
fx
x
π
→∞
=
+
的间断点的个数为( )
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D)4
18、设函数
,
1
1
)(
1
−
=
−x
x
e
xf
则 ( )
(A)
0, 1xx==
都是
()fx
的第一类间断点.
(B)
0, 1xx==
都是
()fx
的第二类间断点.
(C)
0x =
是
()fx
的第一类间断点,
1x =
是
()fx
的第二类间断点.
(D)
0x =
是
()fx
的第二类间断点,
1x =
是
()fx
的第一类间断点.
19、设
(), ()fx gx
在
(,)−∞ +∞
上有定义,且
1
xx=
是
()fx
的唯一间断点,
2
xx=
是
()gx
的
唯一间断点,则( )
(A)当
12
xx=
时,
() ()fx gx+
必有唯一的间断点
1
xx=
(B) 当
12
xx≠
时,
() ()fx gx+
必有两个间断点
1
xx=
与
2
xx=
(C) 当
12
xx=
时,
()()fxgx
必有唯一间断点
1
xx=
(D) 当
12
xx≠
时,
()()fxgx
必有两个间断点
1
xx=
与
2
xx=
20、曲线
1
2
1
arctan
( 1)( 2)
x
x
xx
ye
xx
+
++
=
−+
的渐近线有( )
(A) 1 条 (B)2 条 (C)3 条 (D)4 条
二、填空题
1、
1
1
lim ( !) ___
n
n
n
n
→∞
=
2、设
0( 1, 2,..., ),
k
ak r>=
则
12
lim ____
nn n
n
r
n
aa a
→∞
++⋅⋅⋅+ =
3、求
22 2
11 1
lim( ) ____
12
n
nn nn
→∞
++⋅⋅⋅+ =
++ +
4、
2
1
lim( tan ) ___
n
n
n
n
→∞
⋅=
5、
lim ( 1) ___
n
n
nn
→∞
−=
6、
1
(1) 1
lim sin ___
n
n
n
n
nn
+
→∞
+
=
7、
22 2
12
lim ...
12
n
n
nn nn nnn
→∞
⎛⎞
+++ =
⎜⎟
++ ++ ++
⎝⎠
_________
8、
2
1
3sin 2sin
lim ___
x
xx
x
x
→∞
+
=
9、
2
3
lim[3 ln(1 )] ___
x
xx
x
→∞
−+=
10、
2
2
0
cos cos 1
lim ___
sin( )
x
xx x
x
→
−−
=
11、
2
2
2
2
0
0
2
3
()
lim ___
x
t
x
t
x
edt
edt
→∞
=
∫
∫
12、
0
tan(tan ) sin(sin )
lim ___
sin
x
xx
xx
→
−
=
−
13、
12
lim arctan ___
1
x
x
x
x
→∞
+
=
+
14.、
11
3( 1 )
0 ( 1, 2...), lim ___
3
n
nn
n
n
a
aa n a
a
+
→+∞
+
>= = =
+
设 , 求
15、设
2
0
1 ( ) tan 1
lim 3
1
x
x
fx x
e
→
+−
=
−
,则
0
lim ( ) ___
x
fx
→
=
16、设函数
()fx
在点
0x =
处有
(0) 0f =
,
'(0) 2f =−
,则
0
2
0
ln cos( )
lim
12 ()1
x
x
xtdt
fx
→
−
=
−−
∫
______.
17、
0
11
lim(arctan cot )
x
arc
xx
→
+=
_____
18、若
0
11
lim[ ( ) ] 1
x
x
ae
xx
→
−− =
,则
___a =
19、设
2
tan
,0
1
()
,0
arcsin
2
x
x
ae x
e
fx
x
x
⎧
≤
⎪
⎪
−
=
⎨
>
⎪
⎪
⎩
,在
0x =
连续,则
___a =
20、函数
1
( ) tan
()
()
x
x
ee x
fx
xe e
+
=
−
在
[,]
ππ
−
上的第一类间断点是
___
三、解答题
1、 求下列极限
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