【平面直角坐标系】是数学中用于定位二维平面上点的一个系统，它由两条互相垂直的数轴组成，通常称为X轴和Y轴。X轴水平延伸，Y轴竖直延伸，它们的交点O被称为原点。规定通常向右或者向上为正方向。
【点的坐标】在平面直角坐标系中，每个点都有一个对应的坐标，由一对实数（x, y）表示，其中x代表点沿X轴的坐标，y代表点沿Y轴的坐标。根据x和y的符号，可以确定点位于四个象限之一或坐标轴上：
- 第一象限：x > 0, y > 0
- 第二象限：x < 0, y > 0
- 第三象限：x < 0, y < 0
- 第四象限：x > 0, y < 0
- X轴：x = 0, y ≠ 0
- Y轴：x ≠ 0, y = 0
【坐标轴上的点特征】：
- X轴上的点的y坐标为0。
- Y轴上的点的x坐标为0。
【象限角平分线上的点特征】：
- 一三象限角平分线上的点x坐标和y坐标相等。
- 二四象限角平分线上的点x坐标和y坐标互为相反数。
【平行于坐标轴的点的特征】：
- 平行于X轴的直线上的所有点的y坐标相同。
- 平行于Y轴的直线上的所有点的x坐标相同。
【点到坐标轴及原点的距离】：
- 点P(x, y)到X轴的距离是|y|，到Y轴的距离是|x|，到原点O(0, 0)的距离是√(x² + y²)。
【点的平移】：
- 点左右移动时，只有x坐标发生变化：向右移动，x坐标增加；向左移动，x坐标减少。
- 点上下移动时，只有y坐标发生变化：向上移动，y坐标增加；向下移动，y坐标减少。
【例题精讲】：
1. 点P(-3, 4)到X轴的距离为4，到Y轴的距离为3。
2. 点M(6, -2)到X轴的距离为2，到Y轴的距离为6。
3. 点M(a-1, a+1)在X轴上，意味着其y坐标为0，即a+1=0，解得a=-1。
4. 点P的横坐标是-3，且到X轴的距离为5，那么P点的坐标可能是( -3, 5 )或( -3, -5 )。
5. 点P(4, -6)向Y轴作垂线，垂足为A，三角形POA的面积是基底P的x坐标绝对值乘以高P的y坐标绝对值的一半，即(4 * 6) / 2 = 12。
6. 点A(-2, -3)，AB∥y轴，AB=5，B点的坐标是(-2, -8)和(-2, 2)。
7. 点A(1, 5)，AB∥x轴，AB=3，B点的坐标是(1, 2)和(1, 8)。
【线段AB的长度】：
对于线段AB，如果A(3, 4)和B(4, 1)，则线段AB的长度可以用两点间的距离公式计算：√[(4 - 3)² + (1 - 4)²] = √[1² + (-3)²] = √10。
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