电动力学课后习题答案

### 电动力学课后习题答案解析 #### 第三章 静磁场知识点解析 ##### 1. 匀恒磁场的矢势表示法 **题目解析：** 本题考查了如何利用矢势来表示一个均匀恒定磁场，并进一步探讨不同表达方式之间的差异。 **知识点详解：** - **矢势的概念**：在电磁学中，矢势\( \mathbf{A} \)是一种用于描述磁场\( \mathbf{B} \)的辅助量，它与磁场的关系由毕奥-萨伐尔定律给出：\(\mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A}\)。 - **均匀恒定磁场**：本题中的磁场沿着\( z \)轴方向均匀分布，即\(\mathbf{B} = B_0 \mathbf{e}_z\)，其中\( B_0 \)为常数。 - **矢势的不同表示**：根据题目要求，我们需要找到至少两种不同的矢势\( \mathbf{A} \)，使得它们能够满足给定的磁场条件。 **具体解答：** - **解1**：选取\(\mathbf{A}_1 = -B_0 y \mathbf{e}_x + f(x) \mathbf{e}_z\)，其中\( f(x) \)为任意函数。 - **解2**：选取\(\mathbf{A}_2 = B_0 x \mathbf{e}_y + g(y) \mathbf{e}_z\)，其中\( g(y) \)为任意函数。 为了验证这些矢势是否正确，我们需要计算\(\nabla \times \mathbf{A}_1\) 和 \(\nabla \times \mathbf{A}_2\) 是否等于给定的磁场\(\mathbf{B} = B_0 \mathbf{e}_z\)。通过计算可以发现这两组解确实满足条件。 接下来，我们考虑两个解之间的差异：\(\Delta \mathbf{A} = \mathbf{A}_2 - \mathbf{A}_1 = (B_0 x + B_0 y) \mathbf{e}_y + (g(y) - f(x)) \mathbf{e}_z\)。 - **无旋场的验证**：最后一步是验证\(\Delta \mathbf{A}\)是否为无旋场，即\(\nabla \times \Delta \mathbf{A} = 0\)。经过计算，我们可以得到\(\nabla \times \Delta \mathbf{A} = 0\)，从而证明了两组解之间的差异确实是无旋场。 **结论**：本题通过具体的例子说明了对于一个给定的均匀恒定磁场，存在多种表示该磁场的矢势方法，并且这些不同表示之间的差异是一个无旋场。 --- ##### 2. 无限长螺线管内外磁感应强度的计算 **题目解析：** 本题要求计算无限长螺线管内外磁感应强度\( \mathbf{B} \)，并通过唯一性原理来进行求解。 **知识点详解：** - **唯一性原理**：在一定的边界条件下，电磁场方程的解是唯一的。这里可以通过积分形式的麦克斯韦方程之一来求解磁场分布。 - **无限长螺线管**：无限长螺线管的特点在于其磁场分布具有轴对称性，且在螺线管内部会产生均匀磁场。 - **磁感应强度的计算**：利用磁场与电流密度之间的关系\(\mathbf{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \int_V \mathbf{J} \times \frac{\mathbf{r}'}{r'^3} dV'\)，其中\( \mathbf{J} \)为电流密度，\( \mathbf{r}' \)是从电流源到观察点的位置矢量。 **具体解答：** - **螺线管内部**：根据无限长螺线管的特点，在螺线管内部产生的磁场是均匀的。因此，只需要计算中轴线上的磁感应强度，就可以确定整个螺线管内部的磁场分布。 - **螺线管外部**：对于螺线管外部的磁感应强度，同样可以通过积分形式的麦克斯韦方程进行求解。考虑到无限长螺线管的特点，可以假设在\( xoy \)平面上任取一点作为场点，然后计算该点处的磁感应强度。 **结论**：本题通过对无限长螺线管内外磁感应强度的计算，不仅加深了对唯一性原理的理解，还进一步熟悉了磁场与电流密度之间关系的数学表示方法。