【连续系统振动】是机械工程领域的一个重要主题，主要研究物体在受到外力作用下的动态响应，特别是当物体具有连续性质时，如梁、杆等结构。本篇内容聚焦于连续系统中的梁振动，它是振动力学的一个核心部分，涉及到固有频率、模态函数以及正交性等多个关键概念。
对于【变截面梁的动力学方程】，等截面梁和变截面梁的动力学方程有所不同。等截面梁的动力学方程通常表述为SxtxyEIx∂²/∂t² - ∂²/∂x² = 0，其中S表示面积惯性矩，E是材料的弹性模量，I是截面对中轴的惯性矩，x和t分别为位置坐标和时间。而变截面梁的方程则会更复杂，需要考虑截面的变化。
【固有频率和模态函数】是描述自由振动的关键。固有频率是指系统无外力作用下自然振动的频率，它决定了系统的振动特性。模态函数则是对应于每个固有频率的解，描述了系统在该频率下振动的形状。对于简支梁这样的典型边界条件，固有频率可以通过特征值问题求解，并且可以用正弦或余弦函数来表达。
【模态函数的正交性】是振动分析中的重要性质。这意味着不同模态之间的振动是相互独立的，它们在质量和刚度上的积分为零，这在计算和分析中有着重要应用，简化了问题的处理。
在【梁的弯曲振动】中，讨论了不同类型的边界条件，如固定端、简支端和自由端，这些条件会影响固有频率和模态函数的计算。简支梁的固有频率和模态函数可以通过解相应的特征方程得出，其中简支边界条件会使得梁的端部挠度和剪力为零。
【一维波动方程】是连续系统振动的另一种形式，它描述了在一维空间中波动传播的现象。这个方程在解决梁的强迫振动，即在外部激励下梁的振动问题时非常重要。
这份学习教案详细介绍了连续系统振动中的关键概念和数学表达，对于理解和解决实际工程中的振动问题具有指导意义。通过学习，可以深入理解梁振动的物理过程，掌握固有频率和模态函数的计算方法，以及如何应用正交性简化问题的分析。这对于从事结构工程、振动控制或相关领域的专业人士来说，是必备的知识基础。
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