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离散数学群PPT学习教案.pptx 以下是从给定的文件中生成的关键知识点： 代数结构 * DEFINITION：设 A 是一非空集合，f：A×A→A 的映射称为 A 上的一个二元运算。 * 称 A 连同其上的二元运算 * 一起构成代数结构<A,*>, 也称代数系统、代数。 * 例子：<N,+>、<N,×> 都是代数，而减法“-” 不是 N 上的运算，所以 <N,-> 不是代数。 二元运算的性质 * 定义 1：设 <A,*> 为代数，若∀ a,b∈A，有a*b=b*a，则称 <A,*> 满足交换律。 * 定义 2：设 <A,*> 为代数，若∀ a,b,c∈A，有(a*b)*c=a*(b*c)，则称 <A,*> 满足结合律。 * 例子：<N,+>、<N,×> 满足交换律和结合律，<I,-> 不满足交换律和结合律。 特异元素 * 定义 1：设 <A,*> 为代数，el∈A，若∀ a∈A，有 el*a=a，则称 el 为 <A,*> 的左幺元。 * 定义 2：设 <A,*> 为代数，er∈A，若∀ a∈A，有 a*er=a，则称 er 为 <A,*> 的右幺元。 * 定理：设 <A,*> 为代数，若 <A,*> 既有左幺元 el，又有右幺元 er，则 el=er。 * 定理：设 <A,*> 为代数，若 <A,*> 既有左幺元 el，又有右幺元 er，则称 <A,*> 有幺元 e，且幺元 e 唯一。 左零元和右零元 * 定义 3：设 <A,*> 为代数，l∈A，若∀ a∈A，有 l*a=θl，则称 l 为 <A,*> 的左零元。 * 定义 4：设 <A,*> 为代数，r∈A，若∀ a∈A，有 a*r=θr，则称 r 为 <A,*> 的右零元。 * 定理：设 <A,*> 为代数，若 <A,*> 既有左零元 l，又有右零元 r，则 l=θr。 * 定理：设 <A,*> 为代数，若 <A,*> 既有左零元 l，又有右零元 r，则称 <A,*> 有零元 θ，且零元 θ 唯一。 逆元 * 定义 5：设 <A,*> 为代数，e 为 A 的幺元，a∈A，若存在 b∈A，使得 b*a=e，则称 b 为 a 的左逆元。 * 定理：设 <A,*> 为代数且满足结合律，a∈A，若 a 既有左逆元 b，又有右逆元 c，则 b=c。 * 定理：设 <A,*> 为代数且满足结合律，a∈A，若 a 既有左逆元，又有右逆元，则称 a 有逆元，且逆元唯一。 小结 * 代数 <A,*>，强调运算的封闭性。 * * 运算的交换律和结合律。 * 特异元素：左幺元、右幺元、幺元、左零元、右零元、零元、逆元。